Clase de seguimiento para los operadores

Question

Deje $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert y $T: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ un delimitada operador lineal. El $n$-ésimo número singular ${\mu_{n}}(T)$ $T$ se define como la distancia desde $T$ a el espacio de operadores de rango en la mayoría de los $n$. Decimos que $T$ es en la clase de seguimientosi $$\sum_{n} {\mu_{n}}(T) < \infty.$$ Mostrar que en este caso, $T$ es compacto y si $\{ \lambda_{n} \}$ son sus autovalores, entonces $$\sum_{n} |\lambda_{n}| < \infty.$$ También, muestran que, en general, el recíproco no es cierto.

No he visto esta definición de "clase trace' antes. Puede alguien darme algunos consejos? Puedo aproximado de $T$ con un límite de rango operadores?

Answer 1

Con el fin de distinguir la nueva definición de ${\mu_{n}}(T)$ desde el anterior, llamémoslo ${\mu^{\text{New}}_{n}}(T)$.

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Vamos a asumir a lo largo de este debate que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\mu_{n}}(T) < \infty$.

Por la Divergencia de la Prueba de cálculo (es difícil creer que algo tan simple puede recortar hasta aquí!), tenemos $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\mu_{n}}(T) = 0$. Por lo tanto, para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $n \in \mathbb{N}$ lo suficientemente grande para que ${\mu_{n}}(T) < \epsilon$, lo que significa que nos podemos encontrar en un $F \in B(\mathcal{H})$ de la fila $\leq n$ tal que $\| T - F \|_{B(\mathcal{H})} < \epsilon$. Por lo tanto, $T$ puede ser aproximado en el operador de la norma delimitada por los operadores de rango finito, lo que es un operador compacto.

Recordemos que ${\mu_{n}}(T)$ se define como el $n$-ésimo término de la nula secuencia que está formado por el listado de los valores propios de la positiva compacta de operador $|T|$, en orden decreciente, la multiplicidad de tomar en cuenta. El Principio Minimax luego dice que ${\mu^{\text{New}}_{n}}(T) = {\mu_{n}}(T)$ (por favor haga clic aquí para tener acceso a un conjunto de notas sobre el seguimiento de la clase de los operadores, que contiene una prueba de este resultado; véase el Lema 12). Por lo tanto, 'seguimiento' en el nuevo sentido es el mismo que "el seguimiento de la clase" en el sentido antiguo, y así $$\text{Tr}(|T|) \stackrel{\text{def}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} {\mu_{n}}(T) = \sum_{n=1}^{\infty} {\mu^{\text{Nuevo}}_{n}}(T).$$

Para cualquier $T \in K(\mathcal{H})$, uno puede encontrar ortonormales secuencias de $(\mathbf{v}_{n})_{n \in \mathbb{N}}$$(\mathbf{w}_{n})_{n \in \mathbb{N}}$, no necesariamente completa, de tal manera que $$T = \sum_{n=1}^{\infty} {\mu_{n}}(T) \langle \mathbf{v}_{n},\bullet \rangle_{\mathcal{H}} \cdot \mathbf{w}_{n}.$$ De este modo, obtener de forma más explícita, la aproximación de las $T$ delimitada por los operadores de rango finito. Este es un resultado estándar en la teoría de operadores compactos; por favor, consulte el artículo de la Wikipedia sobre Compacta de Operador o Corolario 4 de las notas mencionadas anteriormente.