Con el fin de distinguir la nueva definición de $ {\mu_{n}}(T) $ desde el anterior, llamémoslo $ {\mu^{\text{New}}_{n}}(T) $.
Vamos a asumir a lo largo de este debate que $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\mu_{n}}(T) < \infty $.
Por la Divergencia de la Prueba de cálculo (es difícil creer que algo tan simple puede recortar hasta aquí!), tenemos $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\mu_{n}}(T) = 0 $. Por lo tanto, para cualquier $ \epsilon > 0 $, existe un $ n \in \mathbb{N} $ lo suficientemente grande para que $ {\mu_{n}}(T) < \epsilon $, lo que significa que nos podemos encontrar en un $ F \in B(\mathcal{H}) $ de la fila $ \leq n $ tal que $ \| T - F \|_{B(\mathcal{H})} < \epsilon $. Por lo tanto, $ T $ puede ser aproximado en el operador de la norma delimitada por los operadores de rango finito, lo que es un operador compacto.
Recordemos que $ {\mu_{n}}(T) $ se define como el $ n $-ésimo término de la nula secuencia que está formado por el listado de los valores propios de la positiva compacta de operador $ |T| $, en orden decreciente, la multiplicidad de tomar en cuenta. El Principio Minimax luego dice que $ {\mu^{\text{New}}_{n}}(T) = {\mu_{n}}(T) $ (por favor haga clic aquí para tener acceso a un conjunto de notas sobre el seguimiento de la clase de los operadores, que contiene una prueba de este resultado; véase el Lema 12). Por lo tanto, 'seguimiento' en el nuevo sentido es el mismo que "el seguimiento de la clase" en el sentido antiguo, y así
$$
\text{Tr}(|T|) \stackrel{\text{def}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} {\mu_{n}}(T) = \sum_{n=1}^{\infty} {\mu^{\text{Nuevo}}_{n}}(T).
$$
Para cualquier $ T \in K(\mathcal{H}) $, uno puede encontrar ortonormales secuencias de $ (\mathbf{v}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $$ (\mathbf{w}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $, no necesariamente completa, de tal manera que
$$
T = \sum_{n=1}^{\infty} {\mu_{n}}(T) \langle \mathbf{v}_{n},\bullet \rangle_{\mathcal{H}} \cdot \mathbf{w}_{n}.
$$
De este modo, obtener de forma más explícita, la aproximación de las $ T $ delimitada por los operadores de rango finito. Este es un resultado estándar en la teoría de operadores compactos; por favor, consulte el artículo de la Wikipedia sobre Compacta de Operador o Corolario 4 de las notas mencionadas anteriormente.
