$R$ es un anillo. Demostrar que $R/(0_R)\cong R$

Question

$R$ es un anillo. Demostrar que $R/(0_R)\cong R$ .

No entiendo muy bien qué $R/(0_R)$ parece. Por definición de anillo cociente, debería tener cosets $a+(0_R)$ donde $a\in R$ . Así que $R/(0_R)$ y $R$ son realmente la misma cosa?

Answer 1

Podemos decir que estos dos conjuntos son iguales en el siguiente sentido: si se recuerda la definición de anillo cociente, los elementos de $R/(0_R)$ son, como usted dice, de la forma $$a+(0_R)=\{a\},$$ es decir, son conjuntos formados únicamente por un elemento $a\in R$ . Así que la función $\varphi : R\to R/(0_R)$ por $$\varphi(a) =a+ (0_R)=\{a\}$$ es claramente un isomorfismo.

Answer 2

Sí, $a \mapsto a+(0_R)$ es el isomorfismo requerido de $R$ a $R/(0_R)$ .