Operador lineal limitado

Question

Operador lineal acotado T sobre $l^2$ viene dado por : $T(x_1,x_2,x_3,..) := (x_1,x_1,x_1,x_2,x_2,x_2,x_3,x_3,x_3,..)$ .

Demostrar que $\frac{T^*T}{3}$ y $\frac{TT^*}{3}$ son proyecciones ortogonales.

Gracias de antemano por la ayuda

Answer 1

Usted tiene $$ \langle T^*Tx,y\rangle=\langle Tx,Ty\rangle= 3\sum_nx_n\overline{y_n}=\langle 3x,y\rangle. $$ Así que $T^*T=3I$ . Desde $\ker TT^*=\ker T^*$ tenemos $$ \overline{\text{ran}\,TT^*}=\ker(TT^*)^\perp=\ker (T^*)^\perp=\overline{\text{ran}\,T}. $$ Así que la gama de $TT^*/3$ es igual al rango de $T$ . Y es una proyección, ya que $$ \left(\frac{TT^*}3\right)^2=\frac{TT^*TT^*}9=\frac{3TT^*}9=\frac{TT^*}3. $$ Así que $TT^*/3$ es la proyección ortogonal sobre el rango de $T$ .

Answer 2

Directamente desde las matrices (la transposición conjugada de la de $T$ ) se obtiene que $$T^*(x_1,x_2,x_3,...)=(x_1+x_2+x_3,x_4+x_5+x_6,...)$$

Por lo tanto, $$\frac{1}{3}T*T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_1,x_2,x_3,...)$$

y

$$\frac{1}{3}TT*(x_1,x_2,x_3,...)=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{x_4+x_5+x_6}{3},\frac{x_4+x_5+x_6}{3},\frac{x_4+x_5+x_6}{3},...)$$

que se proyecta sobre el espacio generado por $(1,1,1,0,...), (0,0,0,1,1,1,0,...),...$