Una de las cosas que menos me gustan de los libros de texto es utilizar las palabras "claramente", "debería ser obvio", etc.
En mi clase de PDEs, hemos empezado la Transformada de Fourier, y me perdí el primer día de ella, así que estoy tratando de leer mi libro. Con respecto a la ecuación del calor en un dominio infinito, me dice esto:
Por nuestra experiencia anterior, observamos que la expresión $\sin{\frac{n\pi x} L } e^{-k(\frac{n\pi} L)^2t}$ resuelve la ecuación del calor [ $u_t=k\cdot u_{xx}$ ] para los enteros $n$ así como $\cos{\frac{n\pi x} L } e^{-k(\frac{n\pi} L)^2t}$ . De hecho, está claro que $$u(x,t)=e^{-i\omega x}e^{-k\omega^2t}$$ resuelve [también la ecuación del calor], para una $\omega$ tanto positivas como negativas.
No me queda "claro" por qué ocurre esto, así que probé a "derivar" esta forma durante un rato utilizando $\omega=\frac{n\pi}L$ y escribiendo las dos funciones trigonométricas en sus formas exponenciales
$$\sin x = \frac 1 2(e^{ix}-e^{-ix})$$ $$\cos x = \frac 1 2(e^{ix}+e^{-ix})$$
(y con términos como $e^{i\omega x}$ también) y sumado, multiplicado, etc, pero en vano.
Para que quede claro (no es un juego de palabras), sé que el $e^{-k\omega^2t}$ es el mismo que el término exponencial en las dos expresiones que resuelven la ecuación, pero no veo dónde $e^{-i\omega x}$ entró en juego.
¿Algún consejo sobre cómo puedo resolver esto? (Si es posible, por favor, dame algún consejo para "derivarlo" yo mismo antes de dar una respuesta completa).
