¿En qué situaciones se puede ver que los espacios topológicos se comportan mal desde el punto de vista homotópico?

Question

En los años ochenta, Grothendieck dedicó mucho tiempo a trabajar en los fundamentos del álgebra homotópica.

Escribió en "Esquisse d'un programme": "[D]urante casi un año, la mayor parte de mi energía se ha dedicado a pensar en fundamentos del álgebra (co)homológica no conmutativa o lo que es lo mismo, finalmente, del álgebra homotópica ." (Comienzo de la sección 7. Versión inglesa aquí : "Desde el mes de marzo del año pasado, es decir, hace casi un año, la mayor parte de mis energías se han dedicado a un trabajo de reflexión sobre los fundamentos del álgebra (co)homológica no conmutativa, o lo que es lo mismo, al fin y al cabo, del álgebra homotópica).

En una carta a Thomason escrito en 1991, afirma: "[P]or mi parte, el "paraíso original" para el álgebra topológica no es sólo la sempiterna categoría semisimplificada, por muy útil que sea, y menos aún la de los espacios topológicos (que uno y otro están en la 2-categoría de los topos, que es como una envoltura común), sino la categoría Cat de las pequeñas categorías, vista con un ojo de la cara por el conjunto de las intuiciones, extraordinariamente ricas, procedentes de los topos. " [EDIT 1: Terrible intento de traducción, de lo contrario algunos podrían perderse la razón por la que he hecho esta pregunta: "Para mí, el "paraíso original" del álgebra topológica no es en absoluto la interminable categoría semisimplificada [se refiere a la categoría simplex], con toda su utilidad, y menos aún la categoría de los espacios topológicos (ambas imbricadas en la categoría 2 de los topos, que es una especie de envoltura común para ellos). Es la categoría de las pequeñas categorías Cat, en efecto, vista a través de los ojos de un geómetra con el conjunto de intuiciones, sorprendentemente ricas, que surgen de las topos."]

Si $Hot$ representa la categoría clásica de homotopía, entonces podemos ver $Hot$ como la localización de $Cat$ con respecto a los funtores cuya realización topológica del nervio es una equivalencia de homotopía (o equivalentemente una equivalencia débil topológica). Esta definición de $Hot$ sigue haciendo uso de los espacios topológicos. Sin embargo, los espacios topológicos no son necesarios para definir $Hot$ . Grothendieck define un localizador básico como $W \subseteq Fl(Cat)$ que satisface las siguientes propiedades: $W$ está débilmente saturado; si una categoría pequeña $A$ tiene un objeto terminal, entonces $A \to e$ está en $W$ (donde $e$ representa la categoría trivial); y la versión relativa del Teorema A de Quillen se mantiene. Esta noción es claramente estable por intersección, y Grothendieck conjeturó que las equivalencias débiles clásicas de $Cat$ forman el localizador básico más pequeño. Esto fue demostrado por Cisinski en su tesis, de modo que terminamos con una definición categórica de la categoría de homotopía $Hot$ sin haber mencionado los espacios topológicos. (Tampoco hemos hecho uso de los conjuntos simpliciales).

Personalmente encontré lo que Grothendieck escribió sobre el tema bastante convincente, pero por supuesto es un cambio de punto de vista bastante radical en cuanto a los fundamentos del álgebra homotópica.

Un hecho relacionado es que Grothendieck escribe en "Esquisse d'un programme" que "la " topología general " se ha desarrollado (en los años treinta y cuarenta) por los analistas y con fines de análisis no para los fines de la topología propiamente dicha, es decir, el estudio de propiedades topológicas de las formas geométricas diverses". ("La "topología general" fue desarrollada (durante los años treinta y cuarenta) por analistas y para satisfacer las necesidades del análisis, no para la topología propiamente dicha, es decir, el estudio de las propiedades topológicas de las diversas formas geométricas". Véase el enlace anterior). Esta frase ya ha sido aludida en MO, por ejemplo en la respuesta de Allen Knutson allí o el comentario de Kevin Lin allí .

Hasta aquí el trasfondo personal de esta pregunta.

No es nuevo que $Top$ la categoría de todos los espacios topológicos y funciones continuas, no posee todas las propiedades deseables desde el punto de vista geométrico y homotópico. Por ejemplo, hay muchas situaciones en las que es necesario restringirse a alguna subcategoría de $Top$ . Espero que haya muchos más casos de "fallos" de $Top$ desde el punto de vista homotópico que los pocos que conozco, y me gustaría tener una lista de tales "fallos", desde los elementales hasta los más profundos o menos conocidos. Yo mismo no pongo ningún ejemplo a propósito, pero espero que la pregunta, tal y como se plantea a continuación, sea lo suficientemente clara. Aquí está, pues:

¿En qué situaciones se nota que $Top$ (la categoría de espacios topológicos generales y mapas continuos) no se adapta a las necesidades geométricas u homotópicas? ¿Qué hechos "deberían ser ciertos" pero no lo son? ¿Y qué suele hacer la gente cuando se encuentra con estas situaciones?

Como es habitual, sólo se puede enviar una respuesta por mensaje para que la gente pueda votar a favor o en contra de las respuestas individuales.

P.D. Me gustaría asegurarme de que nadie interpreta esta pregunta como "por qué debemos deshacernos de los espacios topológicos". Esto, por supuesto, no es lo que tengo en mente.

Answer 1

El producto smash de los espacios topológicos puntuales no es asociativo, es decir, $(X \wedge Y)\wedge Z$ no tiene por qué ser homeomorfo a $X \wedge (Y \wedge Z)$ . (Falla, por ejemplo, para $X = Y = \mathbb{Q}$ y $Z = \mathbb{N}$ .)

Answer 2

El functor de realización geométrica (léase: colímite de homotopía para situaciones agradables) de los espacios simpliciales a $Top$ conserva los retrocesos sólo cuando se toma el $k$ -ificación del producto en $Top$ o trabajar con espacios generados de forma compacta (Editar: o una categoría conveniente de espacios). Esto es falso en la categoría de todos los espacios con el producto ordinario.

Véase, por ejemplo aquí en el nLab.

Answer 3

Mi respuesta está de acuerdo con Grothendieck en que los espacios topológicos pueden considerarse inadecuados para muchos fines geométricos y, en particular, homotópicos. Alrededor de 1970, pasé 9 años tratando de generalizar el groupoide fundamental de un espacio topológico a la dimensión 2, utilizando una noción de doble groupoide para reflejar la idea de ``inverso algebraico a la subdivisión'' y con la esperanza de demostrar un teorema de tipo van Kampen de 2 dimensiones. En una discusión con Philip Higgins en 1974 acordamos que:

1) El teorema de Whitehead sobre los módulos libres cruzados, que $\pi_2(X \cup \{e^2_\lambda\},X,x)$ era un libre cruzado $\pi_1(X,x)$ -era un ejemplo de una propiedad universal bidimensional en la teoría de la homotopía.

2) Si las teorías que proponemos fueran buenas, el teorema de Whitehead debería ser un corolario.

Sin embargo, observamos que el teorema de Whitehead era sobre grupos de homotopía relativa . Así que intentamos definir un doble grupo homotópico de un par de espacios puntuales , que asigna un cuadrado a $X$ en la que los bordes van a $A$ y los vértices al punto base, y tomando clases de homotopía de dichos mapas. Esto funcionó como un sueño, y pudimos formular y demostrar nuestro teorema, publicado después de algunos retrasos (¡y a pesar de la oposición!) en 1978.

Entonces pudimos ver cómo generalizar esto a los espacios filtrados, pero las pruebas necesitaban nuevas ideas, y se publicaron en 1981; éste y otros trabajos posteriores han evolucionado en el libro ``Topología algebraica noabeliana'', publicado el pasado agosto.

El contacto con Loday, que había definido un tipo especial de $(n+1)$ -para un grupo de $n$ -cubo de espacios condujo a un Teorema de van Kampen más potente, con un tipo de demostración totalmente diferente, publicado conjuntamente en 1987. Esto permite calcular algunas homotopías $n$ -y tiene como corolario un $n$ -ad teorema de conectividad, con un cálculo de la crítica (¡no abeliana!) $n$ -ad grupo de homotopía, como han hecho más explícito Ellis y Steiner, utilizando la noción de un grupo cruzado $n$ -cubo de grupos.

De este modo, podríamos obtener útiles groupoides múltiples de homotopía estricta para tipos de espacios estructurados, permitiendo cálculos que antes no eran posibles.

De este modo, se verifica el punto de vista de Grothendieck de que como los espacios con algún tipo de estructura surgen de forma natural en situaciones geométricas, debería haber ventajas si los métodos algebraicos tienen en cuenta esta estructura desde el principio. Es decir, hay que considerar los datos que definen el espacio de interés.