La ecuación $y=a x$ impone una multiplicativo relación con $x$ y $y$ que es exclusivamente compatible con el divisivo cálculo de la pendiente.
Por supuesto, dados dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ en cualquier línea, definimos $$\text{slope} = \frac{\text{change in } y}{\text{change in }x} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$$ Para los puntos de una línea definida por $y=ax$ (que, nótese, es específicamente una línea que pasa por el origen), $$y_1 = a x_1 \qquad\text{and}\qquad y_2 = a x_2$$ para que $$\text{slope} = \frac{a x_1 - a x_2}{x_1 - x_2} = \frac{a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}= a$$ Además, como observas, puedes añadir coordenadas: $$\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2} = \frac{ax_1 + ax_2}{x_1+x_2}= \frac{a(x_1+x_2)}{x_1+x_2} = a$$ Pero, de forma más general, se puede tomar cualquier "combinación lineal" de las coordenadas: $$\frac{Py_1+Qy_2}{Px_1+Qx_2} = \frac{Pax_1+Qax_2}{Px_1+Qx_2} = \frac{a(Px_1+Qx_2)}{Px_1+Qx_2} = a$$
La cuestión aquí es que, como $y$ -Los valores son sólo múltiplos de la $x$ -valores podemos factorizar el multiplicador en el numerador, y luego cancelar el denominador. La simple naturaleza multiplicativa de $y=ax$ sólo sucede para deshacerse de la definición divisoria de la pendiente. Es una bonita propiedad (y parte de por qué nos gusta cuando las cantidades son directamente proporcionales), pero es también agradable esperar que se mantenga más allá de este caso especial.
