Simple declaración verdadero/falso sobre la función de la composición

Question

Dadas las funciones de $f,g$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$es cierto que

Si $f \circ g$ es estrictamente creciente y $f$ es inyectiva, a continuación, $g$ es monótona

Creo que esto es falso, pero no puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Para la primera, estás en lo correcto. Usted puede considerar los siguientes $g,f$.

$g(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x & : x \in (-\infty ,0]\\ x+1 & : x \in (0,1]\\ 1-\frac{1}{4} \exp\{-5x\} & :x\in(1,\infty) \end{array} \right. $ $ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x & : x \in (-\infty ,0]\\ x-1 & : x \in (1,2]\\ x+5 &:x\in(0,1)\\ x+100 &:x\in(2,\infty) \end{array} \right. $

Para 3, usted debería considerar la posibilidad de que $g$ no es estrictamente decreciente en lugar de $g$ es estrictamente creciente. No es demasiado duro para ver si $g$ no es estrictamente decreciente, usted podría obtener una contradicción.

Creo que la razón 2,4 en una forma correcta.