$[\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb{Q}(\alpha)]\mid [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]$ ?

Question

Dado $\alpha, \beta$ números algebraicos sobre $\mathbb{Q}$ se sabe que $d=[\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb{Q}(\alpha)]\le[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]=b$ . También es cierto que $d\mid b$ ? Si no es así, dé un contraejemplo.

Answer 1

Dejemos que $\alpha, \beta$ sean dos raíces distintas de $x^{3} - 2$ . Entonces $[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}] = 3$ mientras que $[\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb{Q}(\alpha)] = 2$ .

La idea es que $x^3 - 2$ es irreducible sobre los racionales, y se divide como $(x-\alpha) q(x)$ en $\mathbb{Q}(\alpha)[x]$ où $q(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\alpha)$ .

Answer 2

$\alpha=\root3\of2$ , $\beta=\rho\root3\of2$ où $\rho$ es una raíz cúbica primitiva de 1. $d=2$ , $b=3$ .

De manera más general, dado cualquier $n\ge2$ y cualquier $d\lt n$ se puede encontrar un polinomio $f$ de grado $n$ , irreducible sobre los racionales, con raíces $\alpha,\beta$ en un campo de división, con $\alpha$ de grado $n$ y $\beta$ de grado $d$ en ${\bf Q}(\alpha)$ , ya sea o no $n$ es un múltiplo de $d$ .