¿Cómo se relaciona la notación Big-O con el error real de una diferenciación numérica?

Question

Supongamos que tengo algunos datos de posición ${x_1, x_2, ... x_n}$ que fue muestreado en un intervalo $h$ . Si quisiera los datos de velocidad, podría aplicar un esquema de diferencias finitas:

$ v_1 = \frac{x_2 - x_1}{h} + O(h)$

$O(h)$ denota que el término de error es proporcional al tamaño del paso. ¿Qué significa exactamente esto en términos físicos? Por ejemplo, digamos que mi $x$ se tomaron a 5 muestras/segundo (por lo que $h=0.2$ ). ¿Significa esto que el error en mis datos de velocidad es $\pm$ 0.2? ¿Cómo interpreto el error en un sentido físico, y puedo escribirlo como una incertidumbre a una medición? Por ejemplo $v_1 = 10 \pm 0.2$ ¿m/s?

Answer 1

Mira las funciones más sencillas $x(t)$ y calcular las expresiones exactas $v(h,t) = \frac{x(t+h)-x(t)}{h}$ .

Para $x(t) = at$ tienes $v(h,t) = \frac{x(t+h)-x(t)}{h} = a$ y por lo tanto el término de error $O(h)$ es cero.

Para $x(t) = at^2$ tienes $v(h,t) = 2 at+ah$ y $O(h)=ah.\;$ Así, el error es constante en el tiempo, sólo depende de $a,h.$

Para $x(t) = at^3$ tienes $v(h,t) = 3 a t^2 + 3 a t h + a h^2$ et $O(h)=3 a t h + a h^2.\;$ Una vez más tienes un término constante, aquí $a h^2,\;$ pero ahora el segundo término de error $3 a t h$ depende del tiempo y su valor absoluto aumenta.

En los dos primeros casos tienes un error evidente de la forma $\pm x.y $ m/s pero en el último caso no es tan fácil. Se puede dar un error máximo para la rango de t considerado; o si tienes que acotar el error tienes el máximo intervalo de tiempo para una aproximación válida.

Answer 2

En general, si $x$ es dos veces continuamente diferenciable, existe un $\xi\in [0,1]$ para lo cual $\frac{x(t+h)-x(t)}{h}=\frac{h}{2!}x''(t+\xi h)$ , por lo que hay que estimar la segunda derivada: $v_1 = 10 \pm \frac{0.2}{2} v''_{max}$