Ejercicio de funciones continuas en el Cálculo de Spivak

Question

Esto es un ejercicio $9$ en el capítulo $6$ (sobre funciones continuas) de Cálculo por Michael Spivak.

(a) Supongamos $f$ es no continua en $a$ . Demostrar que para algún número $\epsilon>0$ hay números $x$ arbitrariamente cerca de $a$ con $|f(x) - f(a)|>\epsilon$ . Ilustrar gráficamente.

(b) Concluya que para algún número $\epsilon>0$ o bien hay números $x$ arbitrariamente cerca de $a$ con $f(x)<f(a) - \epsilon$ o hay números $x$ arbitrariamente cerca de $a$ con $f(x)>f(a) + \epsilon$ .

Tengo dificultades con $b)$ . Considere $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido de la siguiente manera

$f(x) = \begin{cases} 0 & x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \\ \frac 12 & x=1\\ 1 & \{x \in \mathbb{Q} \ | x \neq 1\}\\ \end{cases}$

Nota $f$ no es continua en $x=1$ . Por lo tanto, tomaremos $a=1$ .

Tengo dificultades para encontrar el $\epsilon$ lo que satisface el requisito "o bien". Si tomamos $\epsilon\geq\frac 12$ entonces $f$ no satisface ninguno de los dos requisitos, mientras que si tomamos $0<\epsilon < \frac 12$ satisface ambas cosas. ¿Qué error estoy cometiendo?

Answer 1

La declaración:

hay números $x$ arbitrariamente cerca de $a$ con $f(x)<f(a) - > \epsilon$ o hay números $x$ arbitrariamente cerca de $a$ con $f(x)>f(a) + \epsilon$ .

permite que se den ambas posibilidades (el uso de las palabras " o bien " y " o " no implica que las alternativas sean mutuamente excluyentes).

Answer 2

El "o" no excluye la posibilidad de que ambas cosas sean ciertas. Se utiliza para enfatizar que lo que se quiere decir no es $$\exists \varepsilon > 0 \ \forall \delta > 0 \ \exists x \in (a-\delta,a+\delta) \quad [f(x) > f(a) + \varepsilon \ \text{ or } \ f(x) < f(a) -\varepsilon]$$ como en la primera parte, sino que $$\exists \varepsilon > 0 \ [\forall \delta > 0 \ \exists x \in (a-\delta,a+\delta) \ \ f(x) > f(a) + \varepsilon \quad \text{ or } \quad \forall \delta > 0 \ \exists x \in (a-\delta,a+\delta) \ \ f(x) < f(a) - \varepsilon].$$

En realidad se utiliza como una forma de subrayar que los cuantificadores y las conectivas se colocan de manera diferente, con la "o" que se produce en un nivel superior en la estructura de la declaración.