$L^1$ no es reflexivo

Question

Quiero demostrar que $L^1(\mathbb{R}^n)$ no es reflexivo. Por lo tanto, vemos una secuencia de funciones $(\delta_k)\in L^1$ con $\delta_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ et

$1)\ \delta_k\geq 0 \ \forall k\in\mathbb{N}$ ,

$2)\ \int_{\mathbb{R}^n}\delta_k=1 \ \forall k\in\mathbb{N}$

$3)\ \int_{\mathbb{R}^n\backslash (B_{\frac{1}{m}}(0))}\delta_k\xrightarrow{k\rightarrow\infty}0 \ \forall m\in \mathbb{N}$

Se trata de una secuencia de Dirac. Ahora quiero demostrar que hay una secuencia de este tipo en $L^1$ y que no existe una subsecuencia débilmente convergente. Con esto tengo que concluir que $L^1$ no es reflexivo.

Ya mostré la existencia de la secuencia de dirac. Pero no sé por qué no hay subsecuencia. ¿Puede alguien explicar también por qué podemos concluir que $L^1$ no es reflexivo?

Answer 1

Sugerencia Supongamos por contradicción que esta secuencia tiene una subsecuencia convergente $\delta_{k_n} \to f$ .

Ahora, para cada $a >0$ , $L_a(g) = \int_{\mathbb{R}^n\backslash (B_{a}(0))} g(t) dt$ es una función lineal sobre $L^1(\mathbb R^n)$ et $\delta_{k_n} \to f$ débilmente, por lo que

$$L_a(\delta_{k_n}) \to L_a(f) $$

También, $T(g)= \int_{\mathbb{R}^n} g(t) dt$ es una función lineal sobre $L^1(\mathbb R^n)$ y por lo tanto $$T(\delta_{k_n}) \to T(f) $$

Es fácil demostrar que el valor que se obtiene por $L_a(f) \forall a>0$ et $T(f)$ no son consistentes, es decir, se contradicen.