El área encerrada por 2-dimensional de la curva aleatoria

Question

Considere la posibilidad de un 2-dimensional proceso de Wiener $(W_t)_{t \in [0,1]}$. El Color de cada área de la cual es delimitada por la línea de parametrizada por $W_t$ (esto significa que, cuando el proceso de Wiener hace un bucle y se intersecta a sí mismo que el color de los puntos del plano dentro del bucle). ¿Cuál es la expectativa de valor del área de color de esa manera?

Answer 1

@Danra sugirió que se ejecuta una simulación - así que eso es lo que hice.

• Simulación del movimiento Browniano: Desde un 2-dimensional Browniano movimientos consta de dos independientes 1-dimensional Browniano movimientos, es suficiente para simular trayectorias de un 1-dim. El movimiento browniano. Con este fin, he implementado el siguiente algoritmo (R):

  (Lévy-Ciesielski) Deje $J \geq 1$ el orden de refinamiento. Inicializar $b_0 := 0$. Generar $b_1 \stackrel{s}{\sim} N(0,1)$.
  $\quad$ $j=0$ $J-1$:
  $\quad \quad$ $\ell=0$ $2^j-1:$
  $\quad \quad \quad$ Generar $y \stackrel{s}{\sim} N(0,1)$. Set $$b_{(2\ell+1)/2^{j+1}} = \frac{1}{2} (b_{\ell/2^j} + b_{(\ell+1)/2^j})+2^{- \left( \frac{j}{2}+1 \right)} \cdot y$$

  (René L. Schilling/Lothar Partzsch: Movimiento Browniano de Una Introducción a los Procesos Estocásticos, p. 320)

• Cálculo de la zona cerrada: en Primer lugar, he calculado el selfintersection puntos de la ruta dada. A partir de esto podemos determinar polígonos delimitada por la curva y calcular aproximadamente el área de estos polígonos. (Yo lo hice de esta parte en Matlab, las herramientas de "Rápido y Robusto de la Curva de Intersecciones" y "Fast puntos-en-el polígono de pruebas" eran bastante útil).

Aquí están algunos ejemplos:
El área de color rojo es la zona detectado como encerrada por la curva.

En total, hice 2000 simulaciones y obtuvo el siguiente histograma y empírica de la función de distribución acumulativa:

De alguna manera, se parece un poco a una distribución exponencial, pero no se adapta correctamente. El promedio de la zona cerrada es igual a $$0,0026$$

Answer 2

La probabilidad de que un punto de $x$ está rodeado por el camino Browniano de partida en $0$ tiempo $1$ sólo depende de la distancia entre el$x$$0$. Llame a esta probabilidad $p(\|x\|)$, entonces la espera de área $A$ cerrado por el camino Browniano es $2\pi$ veces la integral de $r\mapsto rp(r)$.

El camino Browniano partir de la distancia $r$ desde el origen y en funcionamiento durante un intervalo de tiempo de longitud $1$ es la versión a escala de la Browniano camino que comienza a distancia $1$ desde el origen y en funcionamiento durante un intervalo de tiempo de longitud $1/r^2$ por lo tanto $p(r)=\mathbb P(T\leqslant1/r^2)$ donde $T$ denota la primera vez que el camino Browniano a partir de $1$ encierra el origen. Por lo tanto, $$A=2\pi\int_0^{+\infty}\mathbb P(T\leqslant1/r^2)r\mathrm dr=\pi\cdot\mathbb E\left(\frac1T\right).$$ Un sesgo producto de la representación de los planos de movimiento Browniano indica que el proceso de su angulares componente puede ser representado como $(B(U_t))_t$ donde $(B(t))_t$ es un estándar (lineal) el movimiento Browniano de partida en $0$ $U_t=\inf\{u\mid\int\limits_0^u\mathrm e^{2\beta}\geqslant t\}$ donde $\beta$ es otro (lineal) movimiento Browniano a partir de $0$ e independiente de $B$. Por lo tanto, que el $T\leqslant t$ implica que el $|B|$ alcance $2\pi$ antes de tiempo $U_t$, es decir, que $\int\limits_0^\tau\mathrm e^{2\beta}\leqslant t$ donde $\tau$ es el primer golpear tiempo de $2\pi$$|B|$.

En otras palabras, $T\geqslant\int\limits_0^\tau\mathrm e^{2\beta}$ donde $\tau$ es independiente de $\beta$ y la distribución de $\tau$ es conocido. Estas observaciones podrían permitir deducir un límite superior del valor de $A$.