Dos preguntas básicas sobre los símbolos de Christoffel

Question

Estoy tratando de entender (más que memorizar) la derivación de los símbolos de Christoffel a partir de la derivada covariante evanescente de la métrica, el primer paso es

\begin{equation} \label{eq:first} \nabla_\sigma g_{\mu\nu}=\partial_\sigma g_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda_{\sigma\mu}g_{\lambda\nu}-\Gamma^\lambda_{\sigma\nu}g_{\mu\lambda}=0. \end{equation}

Me pregunto cuál es una buena manera de recordar (o mejor aún, de averiguar) cómo indexar el $\Gamma$ ¿coeficientes? ¿Cómo saber qué índices están subinscritos en el $\Gamma$ y qué índice de la métrica interviene en la suma con el índice de arriba en la $\Gamma$ ? ¿Existe una forma coherente de calcularlos? Porque por el momento me tomo al pie de la letra lo que está escrito en las notas, lo cual no es muy satisfactorio y se siente como mantener las ruedas de entrenamiento puestas.

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El segundo problema que tengo está en la Leibniz al tomar la derivada covariante de la métrica. La métrica es un tensor de rango 2 y por lo tanto se puede escribir en la forma

\begin{equation} g_{\mu\nu}\tilde e^\mu \otimes \tilde e^\nu. \end{equation}

Cuando tomamos la derivada covariante aplicamos primero la regla del producto (supongo) y luego usamos la regla de Leibniz para tomar las derivadas de los vectores base duales, es decir

\begin{equation} \nabla_\sigma g_{\mu\nu}\tilde e^\mu \otimes \tilde e^\nu=(\partial g_{\mu\nu})\tilde e^\mu \otimes \tilde e^\nu+g_{\mu\nu}\bigl((\nabla_\sigma\tilde e^\mu)\otimes\tilde e^\nu\bigr)+g_{\mu\nu}\bigl((\nabla_\sigma\tilde e^\nu)\otimes\tilde e^\mu\bigr)\end{equation}

Mi pregunta es, ¿es este el método correcto? Me parece incorrecto tomar el producto tensorial del coeficiente de conexión de esta manera, dado que no es un verdadero tensor. Y si esto es correcto, ¿dónde encaja el producto tensorial en la ecuación 1?

Answer 1

1. Creo que has leído toda la información correspondiente sobre los símbolos de Christoffel en la wikipedia y todo lo que necesitas es una buena mnemotecnia. Tenemos que ocuparnos de dos cosas: los índices y el signo. La parte de los índices es realmente sencilla. Si tienes un covector $$ \nabla_iu_j=\partial_iu_j-\Gamma^{\square}_{\square\square}u_{\square} $$ entonces es obvio que $\Gamma$ debe contratar con $u$ En otras palabras, el índice ficticio debería pasar a $u$ y a la parte superior de $\Gamma$ . Los dos índices libres inferiores deben ir al fondo de $\Gamma$ : $$ \nabla_iu_j=\partial_iu_j-\Gamma^{k}_{ij}u_{k} $$ Para el vector: $$ \nabla_iv^j=\partial_iv^j +\Gamma^{\square}_{\square\square}v^{\square} $$ es de nuevo obvio que $v$ debe tener un índice ficticio y no importa a cuál de los índices inferiores de $\Gamma$ va, ya que $\Gamma$ es simétrico en los índices inferiores (sin embargo, tradicionalmente el índice ficticio es el primero). Los índices libres deben ir a los lugares correspondientes: uno arriba, otro abajo $$ \nabla_iv^j=\partial_iv^j +\Gamma^j_{ki}v^k. $$

Generalmente, si tienes un tensor arbitrario: $$ \nabla_iT_{\color{red}{l}\color{green}m\ldots}^{\color{magenta}p\color{orange}q\ldots}=\partial_iT_{lm\ldots}^{pq\ldots} \color{red}{-\Gamma^k_{il}T}_{\color{red}km\ldots}^{pq\ldots} \color{green}{-\Gamma^k_{im}T}_{l\color{green}k\ldots}^{pq\ldots} \ldots \color{magenta}{+ \Gamma^p_{ki}T}_{lm\ldots}^{\color{magenta}kq\ldots} \color{orange}{+ \Gamma^q_{ki}T}_{lm\ldots}^{p\color{orange}k\ldots} \ldots $$ para cada uno de los índices se añade un término como si esta cosa fuera un vector o un covector.

Por último, la parte del signo es fácil de recordar, ya que "vector-covector" y "más-menos" están ordenados de forma natural.

2. Es un enfoque correcto. Cuando se sustituye $$ \frac{\partial\mathbf e^\mu}{\partial x^\sigma} = -\Gamma^\mu_{\sigma\nu}\mathbf e^\nu, $$ se obtendrá la ecuación anterior.