Distribución de la relación de las sumas de las distribuciones gamma

Question

Si $X_1,X_2$ son v.r. independientes con $X_1 \sim \Gamma(\alpha,\theta)$ , $X_2 \sim \Gamma(\beta,\theta)$ entonces se sabe que $$\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)$$ Dejemos que $X_i$ ser iid con $X_i \sim \Gamma(\alpha,\theta)$ . ¿Cuál es la distribución de $$\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i}$$ ? ¿Qué pasa con el caso especial en el que $\alpha=2$ , $\theta=1$ ?

EDIT: Pregunta coincidente con la respuesta de did :)

Answer 1

Esto se desprende de la $n=2$ ya que la distribución de $X_2+\cdots+X_n$ es $\Gamma((n-1)\alpha,\theta)$ . (De ahí que el caso especial sea Beta $(2,2n-2)$ .) Tenga en cuenta que nada de esto depende de $\theta$ siempre que este parámetro sea el mismo para cada $X_k$ .