Dejemos que $X$ sea un triplete de Calabi-Yau con número de Picard uno. ¿Cómo se puede demostrar que el grupo de automorfismo $Aut(X)$ es finito y además coincide con el grupo de automorfismo birracional $Bir(X)$ ?
Parece que es un hecho bien conocido, pero no encuentro ninguna referencia. Dado que cualquier grupo de automorfismo de $X$ conserva el amplio generador de $Pic(X)$ Esta cuestión debería reducirse a la geometría proyectiva.
El grupo $\mathrm{Aut}(X)$ es finito porque, como señalas, preserva un haz de líneas muy amplio; por tanto, es un grupo algebraico (un subgrupo cerrado de un grupo proyectivo). Por tanto, basta con demostrar que su álgebra de Lie $H^0(X,T_X)$ es trivial. Por la dualidad de Serre esto es dual a $H^3(X,\Omega ^1_X)=H^{1,3}$ que es conjugado con $H^{3,1}=H^1(X,\mathcal{O}_X)$ que es trivial por definición de las variedades de Calabi-Yau.
Ahora bien, como $K_X$ es trivial, cualquier automorfismo birracional es un isomorfismo fuera de los conjuntos de codimensión $\geq 2$ (ver por ejemplo aquí, p. 2 para una declaración mucho más general). Esto implica de nuevo que preserva un haz de líneas muy amplio, por lo que es birregular.
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