Cuando llegamos extrañas raíces?

Question

Sólo hay dos situaciones que soy consciente de que dan lugar a extrañas raíces, a saber, la "plaza de los dos lados" de la situación (en orden para eliminar un símbolo de la raíz cuadrada), y el "de la mitad del valor absoluto de expansión" de la situación (con el fin de eliminar tomando valor absoluto). Un ejemplo de lo anterior es $\sqrt{x} = x – 2$, y un ejemplo de esto último es $|2x – 1| = 3x + 6$. En el primer caso, elevando al cuadrado ambos lados obtenemos las raíces de $1$$4$, y la inspección revela que $1$ es extraña. (Por supuesto, el cuadrado ambos lados es un caso especial de recaudación de ambos lados para un positivo incluso de poder.) En el último caso, vamos a ampliar la ecuación en las dos ecuaciones $2x – 1 = 3x + 6$$2x – 1 = -(3x + 6)$, al pasar de las raíces de $-1$$-7$, y la inspección revela que $-7$ es extraña. Ahora, mi pregunta es: ¿hay alguna otra situación además de estos dos, lo que da lugar a extrañas raíces? -Tal vez algo que implican la trigonometría?

Hice esta pregunta hace algún tiempo en MO, donde tengo la tierra en la tierra como una mojada de papas (como Joe Bob diría). Por lo tanto, estoy transfiriendo la pregunta aquí a MSE. :)

Answer 1

Suponga que tiene dos expresiones $e_1$ $e_2$ y usted sabe $$e_1 = e_2.$$
Entonces, si se aplica una función a ambos lados, tiene $$f(e_1) = f(e_2).$$ Sin embargo, esta lógica, en general, no a la inversa, a menos que la función de $f$ es de 1-1. Este es el mecanismo por el cual extrañas raíces de introducción.

Al cuadrado ambos lados de una ecuación, que está destruyendo la información sobre las señales de los dos lados. Ahora, la igualdad partido en caso de que los dos lados tienen el mismo valor absoluto. Este proceso puede, y a menudo lo hace, introducir espurias raíces.

Answer 2

Soluciones extrañas a menudo son el resultado de la omisión de una restricción durante la formulación o la solución de un problema. Por ejemplo, la regla correcta para resolver problemas de valor absoluto ecuaciones es

$$|x| = y \iff (y \ge 0) \text{ and } ((x = y) \text{ or } (x = -y)).$$

Si hacemos uso de esta regla, entonces las soluciones extrañas no se producen.

$$|2x - 1| = 3x + 6,$$ $$(3x + 6 \ge 0) \text{ and } (2x-1 = 3x+6 \text{ or } 2x-1 = -3x-6),$$ $$(x \ge -2) \text{ and } (x = -7 \text{ or } x = -1),$$ $$x = -1.$$

Sin embargo, se acostumbra a omitir la condición de $y \ge 0$ y en lugar de usar el más débil de la regla $$|x| = y \implies ((x = y) \text{ or } (x = -y)).$$ Esto hace que la escritura sea más simple, pero el precio que se paga es que usted tiene que comprobar las soluciones extrañas en la final.

Soluciones extrañas a menudo surgen del uso de una regla de la forma $$x = y \implies f(x) = f(y).$$ El cuadrado ambos lados de una ecuación es un ejemplo de una regla de este tipo.

Si $f$ es uno-a-uno, entonces la regla $$f(x) = f(y) \iff x = y$$ es válido, siempre que $x$$y$, ambos están en el dominio de $f$. Haciendo caso omiso de esta condición puede conducir a soluciones extrañas. La ecuación de $\log(x-4) = \log(2x-6)$ proporciona un ejemplo.

Soluciones extrañas también puede ser el resultado del desconocimiento de las limitaciones físicas en problemas aplicados (por ejemplo, la longitud y la masa son cantidades positivas).

Answer 3

extrañas raíces pueden ocurrir a la hora de resolver ecuaciones racionales - de esto resulta al multiplicar la ecuación para despejar las fracciones y la cancelación de la 0/0 plazo. usted también puede terminar con extraños a las raíces de las ecuaciones logarítmicas porque usted va a terminar con los valores de x que hacen que el argumento negativo (no en el dominio de las funciones de registro)