Procesos de Poisson de estados discretos continuos en el tiempo, ¿por qué es constante a trozos?

Question

Así que, estoy estudiando procesos estocásticos de estados discretos continuos en el tiempo y específicamente empecé a buscar en mis notas sobre los procesos de Poisson. En mis apuntes (de mi clase de la universidad), lo definimos así:

Dejemos que $\big(\Omega, \mathcal E, \mathbb P\big)$ sea un espacio de probabilidad y $\big\{\mathsf N_t\big\}_{t\geq 0}$ un proceso estocástico con valores en $\mathbb Z$ , entonces se llama a $\big\{\mathsf N_t\big\}_{t\geq 0}$ a Proceso de Poisson si

1. $\mathsf N_0(\omega) = 0$ para casi todos los $\omega\in\Omega$
2. Para casi todos los $\omega\in\Omega$ la función $f\colon [0,+\infty]\mapsto \mathbb Z$ definido como $f(t) = \mathsf N_t(\omega)$ es monótona, no decreciente y continua hacia la derecha
3. Para cada $n\in\mathbb N$ y $0\leq t_0 < t_1 < \dots < t_n$ para cada $1 \leq k \leq n$ las variables aleatorias $\mathsf N_{t_k} - \mathsf N_{t_{k-1}}$ son independientes
4. $\forall\:t > s \geq 0$ las variables aleatorias $\mathsf N_{t} - \mathsf N_{s}$ se distribuyen con la distribución de Poisson con parámetro $\alpha(t-s)$ , donde $\alpha$ es la intensidad del proceso.

Entonces, previamente en la clase se definió una variable aleatoria $\mathsf N_t(\omega)$ que cuenta el número de eventos que ocurren en el intervalo de tiempo $(0,t]$ mientras que $N_{s,t}$ es prácticamente lo mismo, salvo que cuenta el número de eventos que ocurren en $(s,t]$ . Declaramos que la familia $N_{s_i,t_i}$ cumple con todas las propiedades enumeradas anteriormente $\iff$ $\big\{\mathsf N_t\big\}_{t\geq 0}$ es un proceso de Poisson con intensidad $\alpha = \mathbb E[\mathsf N_{0,1}]$

Ahora, hasta este punto todavía puedo entender lo que se supone que debo hacer, pero entonces afirmamos que la función $f$ definido como en $(2)$ de la lista de propiedades anterior tiene que ser constante a trozos (espero que sea la traducción correcta ya que mis apuntes no están en inglés, la traducción correcta podría ser función de paso pero no estoy seguro). ¿Por qué es así?

Answer 1

Como se ha dicho, cualquier función continua de derecha $f \colon [0,\infty) \to \mathbb{Z}$ es constante a trozos. No conozco ninguna referencia a este hecho pero es fácil de demostrar. Sea $t \in [0,\infty)$ . Por definición de continuidad de derecho, para cada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $$\forall s \in [0,\infty), \quad \bigg(0 \leq s-t < \delta \quad \implies \quad \lvert f(t)-f(s) \rvert < \epsilon\bigg).$$ Ahora toma $\epsilon = 1/2$ . Entonces existe $\delta >0$ tal que para cada $s \in [t,t+\delta)$ , $\lvert f(t)-f(s) \rvert < 1/2$ . Desde $f$ es de valor entero, esto implica que $f(t) = f(s)$ por cada $s \in [t,t+\delta)$ .