Dada una $\mathcal{L}=\{0,1,+,\cdot , R\}$ y estructura $C=(\mathbb{C},...)$ dar una fórmula para que $C\models \phi(x)$ si $x$ es un número real

Question

Dada una $\mathcal{L}=\{0,1,+,\cdot , R\}$ y estructura $C=(\mathbb{C},...)$ dar una fórmula para que $C\models \phi(x)$ si x es un número real

Las interpretaciones de $0,1,+, \cdot$ son las interpretaciones habituales. $R$ es una relación unaria y el subconjunto formado por los números estrictamente imaginarios $0+bi$

Me está costando mucho dar con esta fórmula ya que necesito tomar de alguna manera números complejos arbitrarios $x$ e identificar que en la forma $a+bi$ que $b=0$

Creo que la declaración que quiero simbolizar sería, si $x$ es $Rx$ entonces $r+x$ es complejo. Ya que sumando cualquier número no nulo debería dar algo que no es un número real.

Answer 1

$$\phi(x) := \forall y (R(y) \Rightarrow R(x \cdot y))$$

Si $x = bi$ es estrictamente imaginario, entonces $R(x)$ pero no tenemos $R(x^2)$ desde $x^2 = -b^2$ . Si $x = a + bi$ es totalmente complejo, entonces tomando $y = bi$ da $R(y)$ pero no $R(x \cdot y) = R(abi - b^2)$ . Pero si $x = a$ es estrictamente real, entonces para cada imaginario estricto $y = bi$ tenemos $x\cdot y = abi$ , estrictamente imaginario, y por lo tanto $R(x\cdot y)$ . Así que la implicación se mantiene exactamente cuando $x$ real.

Answer 2

Nicholas Viggiano dio una definición universal de $\mathbb{R}$ en $(\mathbb{C};0,1,+,\cdot,R)$ . He aquí una definición existencial: $$\exists z\, (z\cdot z + 1= 0 \land R(z\cdot x))$$

La cuestión es que el testigo del cuantificador existencial debe ser $i$ o $-i$ (las dos raíces del polinomio $z^2+1$ ), y un número $x$ es real si y sólo si $xi$ es puramente imaginario si y sólo si $-xi$ es puramente imaginario.

Otra alternativa más: $$\exists z\,(R(z)\land (z\cdot z=x\lor z\cdot z\cdot z\cdot z=x)).$$

Esto funciona porque para cualquier $z$ el cuadrado de $z$ es un número real negativo o $0$ y la cuarta potencia de $z$ es un número real positivo o $0$ y todo número real tiene una raíz cuadrada o cuarta puramente imaginaria.