Un ejercicio sobre tipos (aislados)

Question

Actualmente estoy realizando un curso de teoría de modelos y estoy haciendo algunos ejercicios del libro de Marker. Actualmente estoy intentando el ejercicio 4.5.2. Que dice lo siguiente:

Dejemos que $T$ ser la teoría $(\mathbb{Z},s,<)$ , donde $s(x)=x+1$ es decir, la función de sucesión. A continuación, se me pide que determine los tipos en $S_n(T)$ para todos $n$ . Eso significa que tengo que encontrar los tipos completos. La segunda parte del problema consiste en averiguar cuáles de estos tipos están aislados. Sólo hay un ejemplo en el libro de Marker y no me ayuda mucho con este problema. Me resulta difícil partir sólo de la definición de un tipo.

Answer 1

El reto aquí es demostrar que :

$T$ admite la eliminación de cuantificadores.

( Sugerencia : intentar axiomatizar $\mathrm{Th}(\mathbb Z,<,s)$ ; demuestran que los modelos de la misma [la axiomatización] son de la forma $I \times \mathbb Z$ para $I$ un orden lineal ; luego establecer un ida y vuelta entre $\aleph_0$ -modelos saturados [lo cual es bastante fácil una vez que se conoce la forma de los modelos]; entonces se tiene la eliminación del cuantificador y la finalización; la finalización asegura que su axiomatización es realmente una axiomatización de $\mathrm{Th}(\mathbb Z,<,s)$ .)

A continuación, observe que $\mathbb Z$ es una subestructura para cualquier modelo de $T$ (es decir, si $i \in I$ , $\mathbb Z \simeq \{i\} \times \mathbb Z$ ). Por eliminación del cuantificador, es entonces un elemental subestructura. Así que $\mathbb Z$ es un modelo primario : en particular es atómico y por lo tanto realiza exactamente los tipos aislados.

Así que una forma de responder a la pregunta es decir que los tipos aislados son los realizados por $\mathbb Z$ . Incluso puedes intentar explicitarlas ya que las fórmulas sin cuantificadores son muy sencillas aquí.

Answer 2

Una buena forma de acercarse a averiguar cuáles son los tipos es recordar que dos elementos son del mismo tipo si y sólo si (la inversa sólo funciona en modelos homogéneos como el monstruo) hay un automorfismo de estructura entre ellos (asegúrate de entender por qué).

En primer lugar, trate de entender cuáles son los tipos de $(\mathbb{Z}, <)$ :

Así, dadas dos tuplas de elementos distintos su tipo se reduce a preguntar cuál es la relación de orden entre ellas, y cuántos elementos se interponen entre dos elementos adyacentes cualesquiera.

Así, un tipo realizado en $n$ variables $x_1,...,x_n$ que asegura que $x_1,...,x_n$ son todos diferentes tendrán siempre una fórmula de la forma $x_{\sigma(1)} < ... < x_{\sigma(n)}$ donde $\sigma$ es una permutación en $1,...,n$ .

Un tipo realizado que no asegure que todas las variables son diferentes debe contener fórmulas que nos digan qué variables se identifican (o sería parcial). Así que un $n$ -con $m$ clases de variables (bajo la equivalencia $x_i~x_j \iff x_i\doteq x_j \in p$ ) se reduce a un tipo como el descrito anteriormente en $m$ variables (esto es válido en la teoría dada, ya que no hay ninguna fórmula $\varphi(x,y)$ que puede ser resuelto tanto por un par de elementos únicos como por el mismo elemento dos veces, esto se puede demostrar por inducción en la complejidad de la fórmula).

Una vez aclarado esto, observamos que cada uno de estos tipos puede considerarse un tipo parcial en $(\mathbb{Z},<,s)$ y podemos preguntar cómo podemos completarlos.

La función sucesora permite determinar la distancia entre dos elementos adyacentes en la tupla sin qauntificadores. Así, dado, por ejemplo, un tipo parcial que incluye $x_{\sigma(1)}<...<x_{\sigma(1)}$ (que, por lo anterior, lo determina completamente), se puede ampliar para incluir las fórmulas $x_{\sigma(i)} \doteq s^{n_i}(x_{{\sigma(1)}(i-1)})$ donde $n_i$ son números naturales positivos, y estas son las únicas formas de extenderlo para que se realice. Esto significa, en esencia, que los tipos realizados en las dos teorías son los mismos.

Esto no sólo mapea todo el tipo realizado, sino que demuestra que son todo aislado por la fórmula que es la conjunción de las (finitamente muchas) fórmulas que usamos antes para caracterizar los tipos (otra forma de verlo es mostrar que $\mathbb{Z}$ puede estar incrustado en cualquier modelo de esta teoría, y así todos los tipos realizados en $\mathbb{Z}$ se realizan en general, por lo que hay que aislarlos por el teorema de los tipos omitidos)

Queda por preguntar qué tipos se omiten (recordando, por supuesto, que los tipos aislados no pueden ser omitidos, por lo que estos serán exactamente los tipos no aislados).

Recordemos que un tipo omitido es una colección de fórmulas sin ningún elemento en $\mathbb{Z}$ que las resuelve todas, pero tal que cualquier conjunción finita de ellas sí tiene solución.

EDIT: Todo lo que esté por debajo de este punto es descaradamente erróneo

Sin embargo, esto es imposible, ya que para cualquier $n$ el mapa $k\mapsto n+k:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ es un isomorfismo. Esto puede utilizarse para demostrar que dada una colección arbitraria de fórmulas, todas ellas con solución, que son consistentes entre sí, podemos encontrar una tupla que las resuelva todas.

La conclusión es que todos los tipos están aislados.