¿Quemaría un cohete más combustible para ir de la superficie de la Tierra a la órbita terrestre baja, o para ir de la LEO a la órbita terrestre geosíncrona?
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Para calcular el consumo de combustible, normalmente se puede utilizar el Ecuación del cohete de Tsiolkovsky que se muestra aquí (sin teniendo en cuenta la relatividad ):
$$ \Delta V = v_e * ln(\frac{m_0}{m_1}) $$
- $m_0$ es la masa total inicial, incluyendo el propulsor,
- $m_1$ es la masa total final,
- $v_e$ es la velocidad efectiva de escape, y
- $\Delta V$ es la variación máxima de la velocidad del vehículo (sin fuerzas externas)
El $\Delta V$ de la superficie de la Tierra a la LEO desde el Centro Espacial Kennedy es $9.3 - 10\;km/s$ y de LEO (KSS) a GEO es $4.24\;km/s$ . Fuente: Presupuestos Delta-V, espacio Tierra-Luna, alto empuje
Asumiendo una velocidad de escape de 4,5 km/s, cohete de una sola etapa, obtenemos
$$ \frac{m_0}{m_1} = e^{\Delta V/v_e} = e^{9.3/4.5} = 7.90 $$
$$ m_{propellant} = (1 - \frac{m_1}{m_0})m_0 = (1 - \frac{1}{7.90})m_0 = (1 - 12.66\%)m_0 = 87.3\%\;m_0 $$
Sólo para llevar el cohete a LEO se necesita el 87,3% de su masa inicial. Ahora intentemos esto de nuevo para LEO -> GEO:
$$ \frac{m_1}{m_2} = e^{\Delta V/v_e} = e^{4.24/4.5} = 2.57 $$
$$ m_{propellant} = (1 - \frac{m_2}{m_1})m_1 = (1 - \frac{1}{2.57})m_1 = (1 - 38.98\%)m_1 = 61.02\%\;m_1 $$
Sin embargo, se trata de un porcentaje de la masa inicial en LEO, que es el 12,66% de la original. Sea $m_1$ sea la nueva masa inicial para la ecuación del cohete alcanzada después de alcanzar el LEO (desde arriba) y $m_2$ sea la masa final después de llegar a GEO. La fracción de masa de lanzamiento $m_0$ sería
$$ \frac{m_2}{m_0} = \frac{m_2}{m_1}*\frac{m_1}{m_0} = \frac{1}{2.57}*\frac{1}{7.90} = .3898 * .1266 = 4.93\% $$
$$ m_{propellant} = (\frac{m_1}{m_0} - \frac{m_2}{m_0})m_0 = (12.66\% - 4.93\%)m_0 = 7.73\%\;m_0 $$
Así, para ir de la superficie de la Tierra -> LEO se necesita alrededor del 87,3% de la masa de lo que se lanza expulsado a 4,5 km/s, mientras que para LEO -> GEO sólo se necesita el 7,73% de esa masa a 4,5 km/s, lo que te deja en GEO con el 4,93% de lo que tenías al principio.
Nota: debido a la dificultad del trayecto Tierra->LEO, solemos utilizar cohetes de varias etapas que pueden aliviar el combustible necesario. Como dijiste "un cohete", lo tomé literalmente e hice el cálculo con un de una etapa a la órbita configuración.
JRT
Puntos
97
El artículo de Wikipedia Presupuesto Delta-V discute la energía necesaria para ir de un lugar a otro. El delta-v de la superficie de la Tierra a la órbita terrestre es de 9,3 a 10 km/seg, mientras que el delta-v de la órbita terrestre a la órbita geoestacionaria es de unos 4 km/seg, dependiendo de lo que se entienda por órbita terrestre. Por lo tanto, para ir de la Tierra a la órbita terrestre se necesita el doble de combustible que para ir de la órbita terrestre a la órbita geoestacionaria.
Delta-v es un concepto difícil para cualquiera que no se haya topado con él antes. Es una guía general sobre la cantidad de combustible que se necesita. Respondí a una pregunta sobre delta-v en Diferencia entre deltaV e impulso específico o hay un artículo de Wikipedia aquí . Se puede pensar que el delta-v es proporcional a la cantidad de combustible que se necesita.
Si se calcula la energía potencial gravitatoria para una masa fija, se constata que cambia mucho más al ir de LEO a GEO que al ir de la superficie terrestre a LEO. Por lo tanto, se podría pensar que para ir de la LEO a la GEO se necesita más combustible. La diferencia es que, a medida que el cohete se eleva, quema combustible y su masa disminuye. Cuando el cohete llega a la LEO su masa es una pequeña fracción de la masa de lanzamiento. Al pasar de LEO a GEO se mueve una masa mucho menor, por lo que, aunque se aleja mucho, se necesita menos energía.
Nave de masa fija
La energía potencial gravitatoria a distancia $r$ desde el centro de la Tierra es:
$$ V(r) = -\frac{GMm}{r} $$
por lo que la diferencia de energía entre dos distancias $r_a$ y $r_b$ es simplemente:
$$ \Delta V = -GMm \left( \frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b} \right)$$
El término órbita terrestre baja parece abarcar un amplio rango de altitudes, así que tomemos como referencia la altitud de la ISS, es decir, unos 350 km. La órbita geoestacionaria está a 35.786 km y el radio de la Tierra es de 6378 km, por lo que el cambio de energía potencial por kg es:
$$ \Delta V(\text{surface to LEO}) = 3.25MJ/kg $$
$$ \Delta V(\text{LEO to GEO}) = 49.8MJMJ/kg $$
Así que se necesita 15 veces más energía para llevar una masa fija de LEO a GEO que de la superficie a LEO.
Es poco probable que esto sea relevante para cualquier nave espacial, ya que no conozco ninguna forma de que una nave espacial llegue a GEO sin cambiar su masa. Sin embargo, es relevante para un ascensor espacial si alguna vez conseguimos construir uno.
