Dejemos que $ \mathbb{R}^n$ sea un dominio acotado con frontera suave $$, and denote by $ |vec{n} $ the outer unit normal to $$ . Demostrar que el problema de Neumann no homogéneo
$$ \begin{cases} u = f & \text{ in } \\ \langleu ,\vec{n}\rangle = 0 & \text{ on } \\ \end{cases} $$
sólo tiene solución si $\int_f = 0$ .
¿Cómo puedo hacerlo? ¿Puede alguien ayudarme a entender mejor por dónde empezar?
Asumiendo la regularidad correcta en $f$ , esto es una aplicación del teorema de la divergencia. En efecto, obsérvese que $$\int_{\Omega}f\,dx = \int_{\Omega}\Delta u\, dx = \int_{\partial \Omega}\nabla u \cdot n\, d\mathcal{H}^{N-1} = 0,$$ donde la última igualdad se desprende de la condición de Neumann. Esto se suele denominar condición de compatibilidad.
¿Podría explicar un poco más esa última igualdad y por qué se deduce de la condición de Neumann?
La condición de Neumann dice que el integrando de la última integral es constante e igual a $0$ . (He utilizado una notación diferente para el producto interior, tal vez eso causó confusión..)
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Condición necesaria: por el teorema de la divergencia. El Laplaciano es la divergencia del gradiente.
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También de existencia de la solución del problema de Neumann en $ \mathbb{R}^3$ si sólo le interesa la parte de la necesidad.
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Gracias, señor. Estoy intentando seguirlo y entenderlo