¿Por qué son proyectivos objetos importante?

Question

Creo estudiamos porque en importantes categorías en las que están cerca de libre de objetos e incluso un retractarse de una libre objeto en algunos algebraicas instancias (por ejemplo, directa sumandos en Mod_R, y precisamente los objetos libres en el Gps). Estoy en lo cierto? Hay otras razones?

Answer 1

Creo que la principal razón de que el interés en módulos proyectivos es la extraordinaria bijective correspondencia descubierto por Serre entre finitely generado módulos proyectivos $P$ totalmente arbitraria anillo de $A$ y localmente libre de gavillas de rango finito (= vector de paquetes) $\mathcal F$ en el correspondiente esquema afín $X=Spec(A)$. La correspondencia simplemente asocia a un vector paquete de $\mathcal F$ $A$- módulo de su sistema global de secciones: $P=\Gamma(X, \mathcal F)$.

Esto le da un diccionario entre el álgebra y la geometría, en la cual la libertad de los módulos corresponden a la trivial paquetes, etc. Swan y Forster han perfeccionado este diccionario por llevar la topología y el análisis complejo en la escena. Una particularmente interesante para la aplicación de este diccionario es que uno puede probar que el módulo proyectivo sobre el anillo de las funciones de la 2-esfera correspondiente a la tangente del paquete de esa esfera es no trivial, apelando a la bien conocida topológico hecho de que la tangente paquete es topológicamente no triviales. No hay pruebas de que había estado disponible antes.

Tal vez el más espectacular succcess historia del diccionario es la simultánea pero independiente de la prueba por Quillen y Suslin en 1977 en el que cada vector paquete en el espacio afín $\mathbb A^n_k=Spec(k[T_1,\ldots,T_n])$ sobre un campo $k$ es trivial mostrando que finitely generado proyectiva paquetes de más de $k[T_1,\ldots,T_n]$ son triviales . Esto respondió a una pregunta Serre había pedido en la página 243 del artículo en la que presentó su correspondencia: Faisceaux Algébriques Cohérents, siempre llama cariñosamente FAC . Este artículo es uno de los más importantes en las matemáticas del siglo xx. (Traducción al inglés aquí, gracias a MathOverflow)

Edición En Zev petición, voy a tratar de explicar por qué el vector de paquetes dar lugar a módulos proyectivos . Voy a hacerlo en el contexto más familiar de la topología, la idea de la misma como en la geometría algebraica. Dado un vector paquete de $F$ en un compacto espacio topológico $X$, es fácil ver que hay un número finito de perfiles continuos $s_1, \ldots,s_N\in \Gamma(X,F)$ que generan la fibra de $F$ en cada una de las $x\in X$, aunque $\Gamma(X,F)$ sí es (casi) siempre de infinitas dimensiones.Esto produce un surjective de morfismos de vector de paquetes $\pi : \theta^N\to F$ a partir de la categoría-$N$ trivial paquete en la $X$$F$.
El núcleo de $\pi$ es entonces un vector paquete de $K$ $X$ y la secuencia exacta de los paquetes de $0\to K \to \theta^N \to F\to 0$ divisiones (todos lo hacen en espacios compactos !) y obtenemos una suma directa de descomposición $\theta ^N=K\oplus F$. Tomando global secciones obtenemos $$C(X)^N= \Gamma(X,K) \oplus \Gamma(X,F)$$ a partir de la cual projectivity ( y de generación finita) de $ \Gamma(X,F) $ $C(X)$ sigue

Answer 2

Si he entendido Pete Clark respuesta a otra pregunta correctamente, aquí es una razón básica: en $R\text{-Mod}$ ($R$ un anillo conmutativo) la dualizable objetos son precisamente los finitely generado módulos proyectivos. Para una buena discusión de la importancia de dualizable objetos véase, por ejemplo, Ponto y Shulman Huellas en monoidal simétrica categorías.

Answer 3

Proyectiva objetos de $P$ son importantes porque son aquellos para los cuales $\hom(P, -)$ es un functor exacto - que es por lo general sólo la mitad exacta. Del mismo modo, inyectiva objetos son aquellos para los cuales $\hom(-,I)$ es exacta. Esto significa que la derivada de functors (Ext-functors) de $\hom(P,-)$ $\hom(-,I)$ se desvanecen.

Answer 4

Si se le da un anillo, a veces es bastante no-obvio cómo construir sus módulos.

Un lugar natural para buscar para los módulos en el interior del anillo en sí mismo y en el interior de la libre módulos, los cuales son inmediatamente edificable de el anillo en sí. Ahora, dentro de la libre módulos puede haber todo tipo de cosas... pero es bastante evidente que el más simple de los módulos que se van a encontrar en el interior libre de los módulos son precisamente los sumandos de la misma.

Answer 5

(1) En términos de la teoría de la representación, una $R$-módulo de $M$ determina una representación de el anillo de $R$:

$R \rightarrow \text{End}(M)$

Un proyectiva $R$-módulo de $P$ corresponde a una sub representación de un estándar de representación de $R$ libre $R$-módulo de $M = \prod_{i \in I} R$ que también es un sumando directo: $M = P\oplus Q$. Por lo tanto, el mapa

$R \rightarrow \text{End}(M) \stackrel{\text{Res}_{P}}{\rightarrow} \text{Hom}(P, M) = \text{Hom}(P, P\oplus Q) = \text{End}(P) \oplus \text{Hom}(P, Q)$,

factores a través de

$R \rightarrow \text{End}(P)$.

Por lo tanto, una vez que sabemos que el módulo $P$ es un sumando directo de, sabemos inmediatamente cómo $R$ actúa sobre él.

(2) Lineal funcionales $P \rightarrow R$ en un proyectiva $R$-módulo de $P$ puntos separados, es decir, para todos los $p, q, \in P$, existe un funcional lineal $f$ tal que $f(p) \neq f(q)$. Debido a $f$ es lineal, podemos asumir que $q = 0$, y esto es equivalente a la siguiente: para cada $p \in P$ existe $f \in \text{Hom}_R(P, R)$, de tal manera que $f(p) \neq 0$. De esto podemos ver que esta condición, precisamente, dice que la canónica mapa

$P \stackrel{\varphi}{\rightarrow} (P^\ast)^\ast$

$p \mapsto \varphi_p : (f \mapsto f(p))$

es inyectiva, es decir,$\varphi_p = 0$, si, y sólo si, $f(p) = 0$ todos los $f \in \text{Hom}_R(P, R)$, si, y sólo si, $p = 0$. Ahora, para demostrar que $\varphi$ es inyectiva, tenga en cuenta que hay un $R$-módulo de $Q$ tal que $M = P\oplus Q$ es gratis. Supongamos que $p\neq 0$. Deje $f \in \text{Hom}_R(M, R)$, de tal manera que $f(p) \neq 0$, y restringir $f$ $P$(es decir, sólo tome $f$ es la proyección sobre un no-cero componente de $p$). A continuación,$\phi_p(f) \neq 0$. Por lo tanto, $\phi$ es inyectiva.

Más generalmente, una $R$-módulo de $M$ se llama torsionless si la canónica mapa de $M \rightarrow (M^\ast)^\ast$, es inyectiva. Por lo tanto proyectivas módulos son torsionless.