Límite A.e. para funciones en L^infinito

Question

Dadas las siguientes definiciones: $$\mathcal{L}^{\infty} = \{ \ f\in\mathcal{L}^0 \ |\ \exists a\in\mathbb{R}_+: |f| \leq a \ \ \text{a.e.}\}$$ $$\|f\|_{\infty} = \inf_{|f| \leq a \ \ \text{a.e.}} a$$

Intento demostrar la siguiente propiedad:

Si $f\in\mathcal{L}^{\infty}$ entonces $|f|\leq\|f\|_{\infty}$ a.e.

En particular, estoy teniendo problemas para demostrar que el conjunto $\{x: |f(x)| > \|f\|_{\infty} +\frac{1}{n}$ } tiene medida cero. ¿Cuál es el procedimiento para demostrarlo?

Answer 1

Por la definición de "inf", existen algunos $a_n$ satisface $\{x:|f(x)|> a_n \}$ tiene medida cero y $\|f\|_{\infty} \le a_n<\|f\|_{\infty} +\frac{1}{n}$ para cada $n$ .

Pero sabemos que $$\{x: |f(x)| > \|f\|_{\infty} +\frac{1}{n}\}\subset \{x: |f(x)| > a_n\}$$ lo que implica que $\{x: |f(x)| > \|f\|_{\infty} +\frac{1}{n}\}$ también es la medida cero.