Estimar el orden de convergencia dada la tabla de errores

Question

He mirado otros posts y no he entendido bien lo que pasaba...

Dado un método numérico para calcular la solución de, por ejemplo, una ED, solemos obtener una tabla de errores. Los errores suelen depender del tamaño del paso, que podemos suponer que es $10^{-k}$ . Por ejemplo, observe la siguiente tabla.

           k    Error  
           2  9.60e+00
           3  7.78e-01 
           4  7.70e-02
           5  7.71e-03 
           6  7.71e-04 

¿Cómo puedo estimar el orden de convergencia de nuestro método teniendo en cuenta estos errores?

Me imagino que miramos la relación de los errores y vemos si se aproximan a un polinomio de orden $p$ ?

Por ejemplo, en este caso puedo ver que las potencias disminuyen en 1 cada vez, por lo que eso implica una convergencia lineal, ¿no? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Suponiendo que $h = 10^{-k}$ . Si utilizamos un método con orden $p$ su error viene dado por $\epsilon = C(h)h^p$ con $C$ siendo algún coeficiente desconocido que varía lentamente con respecto a $h$ . Suponiendo que $C$ permanece constante para dos valores sucesivos de $h$ se puede escribir $$ \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{h_1^p}{h_2^p} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^p. $$ Así que $$p = \frac{\log \epsilon_1 - \log \epsilon_2}{\log h_1 - \log h_2} = \frac{\lg \epsilon_1 - \lg \epsilon_2}{k_2 - k_1}.$$

En el caso de que tengas una tabla que necesites ajustar tus datos con $\epsilon = Ch^p$ ley y determinar $p$ de ese ajuste. La forma más sencilla es trazar $\log \epsilon$ vs $\log h$ y ajustarlo con una línea utilizando los mínimos cuadrados. Eso dará $$ p = \frac{\overline{\log \epsilon \log h} - \overline{\log \epsilon} \;\overline{\log h}}{\overline{\log^2 h} - \overline{\log h}^2}. $$