Volumen del espacio de fase y relatividad

Question

Gran parte de la mecánica estadística se deriva del teorema de Liouville, que puede enunciarse como "el volumen del espacio de fase ocupado por un conjunto de sistemas aislados se conserva en el tiempo". (De momento, me interesan sobre todo los sistemas clásicos).

Está claro que la relatividad especial no cambia esto, ya que la relatividad sólo añade un conjunto diferente de invariancias al Hamiltoniano. Por tanto, bajo la relatividad especial, el volumen del espacio de fase de un conjunto debe permanecer constante a lo largo del tiempo, siempre que seamos consistentes en el uso de un marco de referencia inercial dado. Sin embargo, esto no nos dice cómo cambiaría el volumen del espacio de fase si nos impulsáramos a un marco de referencia diferente. Así que me gustaría saber lo siguiente:

1. ¿Se puede decir algo útil sobre cómo cambia el volumen del espacio de fase ocupado por un conjunto de sistemas bajo un impulso de Lorentz? Supongo que esto implicaría tomar un corte de tiempo diferente a través del sistema, como se explica a continuación. Sospecho que el volumen del espacio de fase no se comporta muy bien bajo transformaciones de Lorentz, ya que el espacio de fase se define en términos de 3 posiciones y 3 momentos.

2. Si el volumen del espacio de fase no se comporta bien bajo los impulsos de Lorentz, ¿existe una generalización (por ejemplo, en términos de 4 posiciones y 4 momentos) que sí lo haga? Y si es así, ¿dónde puedo encontrar más información al respecto?

3. Preguntas extra opcionales: ¿qué efecto tienen la relatividad general y la mecánica cuántica en todo lo anterior?

Aclaración adicional

A continuación hay algunos diagramas que deberían aclarar lo que estoy pidiendo. (a) muestra un diagrama espacio-temporal de un sistema formado por varias partículas clásicas. Tomamos un corte de tiempo simultáneo a través del sistema (línea roja) y anotamos la posición 3 y el momento 3 de cada partícula. Esto nos da un punto en un espacio de fase (diagrama (b) ), que he dibujado en dos dimensiones por comodidad. Un conjunto de sistemas similares (es decir, sistemas con la misma dinámica pero con diferentes condiciones iniciales) puede considerarse que ocupa una región de este espacio de fases. El teorema de Liouville nos dice que si hacemos lo mismo con diferentes valores de $t$ (para el mismo conjunto de sistemas), la forma de esta región puede cambiar pero su volumen será el mismo.

(c) muestra una versión transformada de Lorentz del mismo sistema que (a). Podemos tomar un corte de tiempo simultáneo a través del sistema en el nuevo $(x',t')$ marco de referencia, pero no será paralela a la del $(x, t)$ marco. Las 3 posiciones y las 3 mentos de las partículas también serán diferentes. Podemos trazar la posición del sistema en el nuevo espacio de fase generado haciendo el mismo procedimiento en el nuevo marco de referencia (d) . También podemos trazar la región del espacio de fase ocupada por el conjunto. Haciendo lo mismo con diferentes valores de $t'$ producirán diferentes regiones con el mismo volumen entre sí. Sin embargo, mi pregunta es si el volumen de la región trazada en (d) debe ser igual al volumen de la región en (b).

Progreso

En este documento (J. Goodman, Topics in High-Energy Astrophysics, 2012, p.12-13; lamentablemente Goodman no da más referencias) hay una prueba de que los volúmenes del espacio de fase infinitesimal son invariantes de Lorentz. Parece legítimo, pero el autor asume que cada partícula $x$ posición está dentro del mismo pequeño intervalo $[x, x+dx]$ , lo que significa que no tiene que tener en cuenta el hecho de que se toma un trozo de tiempo diferente cuando se cambia el marco de referencia. Además, estoy utilizando una versión integrada del teorema de Liouville, en la que el conjunto tiene un volumen de espacio de fase finito en lugar de infinitesimal, y no me queda claro inmediatamente si esto supone una diferencia. Así que esto parece sugerir que los volúmenes del espacio de fase esbozados en las figuras (b) y (d) anteriores serán iguales, pero todavía no estoy seguro y me gustaría saber dónde puedo encontrar la prueba completa, si es que existe.

Nuevos avances

Concedo una recompensa de 100 puntos a Qmechanic por su útil respuesta, que expresa el argumento de Goodman (discutido anteriormente) en un lenguaje más formal. Sin embargo, creo que la pregunta aún no ha sido respondida. Esto se debe a que el argumento no sólo supone que el sistema ocupa un volumen infinitesimal del espacio de fase. Por sí solo, esto estaría bien, ya que basta con integrar sobre el espacio de fase para obtener la versión del volumen de espacio de fase finito. El problema es que este argumento también supone que el sistema sólo ocupa un volumen infinitesimal del espacio real. En general, un sistema que ocupa un volumen infinitesimal del espacio de fase puede ocupar un área finita del espacio real (pensemos en un sistema compuesto por múltiples partículas clásicas separadas espacialmente, como se ilustra más arriba), por lo que este argumento parece cubrir sólo un subconjunto restringido de los casos que me interesan. El argumento de Goodman está bien si se consideran partículas no interactivas o fluidos en equilibrio (lo que tiene sentido dado su origen en la astrofísica), pero también me interesan los sistemas de múltiples partículas que pueden o no estar en equilibrio térmico. Es mi fuerte intuición que el argumento puede se amplíe para tratar todos los casos, y estaré encantado de conceder una recompensa adicional de 100 puntos a quien pueda mostrar cómo hacerlo.

Creo que una vía de respuesta podría ser observar que, en la relatividad especial, las partículas clásicas no pueden interactuar a menos que colisionen. Esto significa probablemente que en los tiempos entre colisiones se puede pensar que ocupan sus propios espacios de fase individuales, y tal vez con la ayuda de la prueba que se ha presentado y un poco de contabilidad cuidadosa sobre lo que sucede durante las colisiones, todo funcionará bien. Pero, por supuesto, hay que ampliarlo para tratar con campos (clásicos), lo que podría ser complicado. Uno tiene la sensación de que debería haber una forma sencilla de derivarlo a partir de la invariancia de Lorentz del Lagrangiano, sin preocuparse del tipo de sistema con el que estamos tratando. (¡Otorgaré una recompensa de 200 puntos a una respuesta satisfactoria que adopte este último enfoque!)

Answer 1

I) Demostremos aquí la invariabilidad de las dos $3$ -forma

$$ p^0 dq^1 \wedge dq^2 \wedge dq^3\qquad \text{and}\qquad \frac{dp_1 \wedge dp_2 \wedge dp_3}{p^0} \tag{1} $$

en ( restringido ) Transformaciones de Poincare . En consecuencia, la forma de volumen

$$\Omega~:=~\frac{1}{3!}\omega\wedge \omega\wedge\omega~=~ dp_1 \wedge dp_2 \wedge dp_3 \wedge dq^1 \wedge dq^2 \wedge dq^3 \tag{2}$$

es también un invariante, donde

$$ \omega ~:=~\sum_{i=1}^3 dp_i \wedge dq^i \tag{3}$$

es la 2 forma simpléctica.

Trabajemos en unidades donde la velocidad de la luz $c=1$ es uno. Aquí vamos a suponer:

1. La métrica es $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(-1,+1,+1,+1)$ .

2. El $q^{\mu}=(t, {\bf q})$ y $p^{\mu}=(p^0, {\bf p})$ bajo las transformaciones de Poincare como una afín y una lineal $4$ -vector, respectivamente.

3. Todas las partículas tienen la misma masa en reposo $m_0\geq 0$ . En particular, la energía es

$$ p^0 ~=~ \sqrt{{\bf p}^2+m_0^2 }.\tag{4}$$

4. El impulso es cinético

$${\bf p}~=~p^0{\bf v}.\tag{5}$$

Dado que los dos $3$ -(1) son claramente invariantes bajo traslación y rotaciones, basta con considerar un aumento de Lorentz a lo largo de la $q^1$ -eje. Esto se debe a que

$$ p^{0}dq^1, \qquad dq^2, \qquad dq^3, \qquad \frac{dp_1}{p^0},\qquad dp_2,\qquad dp_3,\tag{6} $$

son todos invariantes bajo el impulso a lo largo de la $q^1$ -eje. Por ejemplo, el cuarto punto

$$\frac{dp_1}{p^0}~=~\frac{d\overline{p}_1}{\overline{p}^0}.\tag{7}$$

en la lista (6) es invariable porque

$$ \frac{\partial \overline{p}_1}{\partial p_1 } ~=~ \frac{\partial [\gamma(p_1-\beta p^0)]}{\partial p_1 } ~\stackrel{(4)}{=}~ \gamma(1-\beta \frac{p^1}{p^0}) ~=~ \frac{\gamma(p^0-\beta p_1)}{p^0} ~=~ \frac{\overline{p}^0}{p^0}, \quad \gamma~:=~(1-\beta^2)^{-1/2}.\tag{8}$$

Sólo la invariabilidad del primer elemento

$$p^{0}dq^1~=~\overline{p}^{0}d\overline{q}^1\tag{9}$$

en la lista (6) no es trivial, así que concentrémonos en ella.

Prueba de la ec. (9). La derivación sigue esencialmente la de la Ref. 1. Consideremos un punto fijo arbitrario $({\bf q}_{(0)},{\bf p}_{(0)})\in\mathbb{R}^6$ en el espacio de fase en $t=t_{(0)}=\overline{t}_{(0)}$ . Debido a la simetría de traslación, podemos suponer que el punto ${\bf q}_{(0)}=\overline{\bf q}_{(0)}$ es un origen común para los dos sistemas de coordenadas (uno barrado y otro no barrado) de la transformación de Lorentz en $t=t_{(0)}=\overline{t}_{(0)}$ . Definamos

$$ {\bf x}(\Delta t)~:=~{\bf q}(t)-{\bf q}_{(0)}, \qquad \Delta t~:= t-t_{(0)}, \tag{10}$$

y

$$ \overline{\bf x}(\overline{\Delta t})~:=~\overline{\bf q}(t)-\overline{\bf q}_{(0)}, \qquad \overline{\Delta t}~:= \overline{t}-\overline{t}_{(0)}. \tag{10'}$$

Imaginamos que observamos una región espacio-temporal (y energía-momento) infinitesimal alrededor del punto fijo $(q^{\mu}_{(0)},p^{\nu}_{(0)})\in\mathbb{R}^8$ . Como sólo nos interesan las variaciones de primer orden en las posiciones, basta con trabajar con las variaciones de orden cero en los momentos. En otras palabras, podemos imaginar que todas las partículas viajan con la misma energía-momento constante $p^{\mu}=p^{\mu}_{(0)}\in\mathbb{R}^4$ (y velocidad ${\bf v}={\bf v}_{(0)}\in\mathbb{R}^3$ ). Entonces

$$ {\bf x}(\Delta t)~=~{\bf v}\Delta t+ {\bf x}_0 ,\qquad {\bf v}~=~\frac{{\bf p}}{p^0}, \tag{11}$$

y $$ \overline{\bf x}(\overline{\Delta t})~=~\overline{\bf v}\overline{\Delta t}+ \overline{\bf x}_0,\qquad \overline{\bf v}~=~\frac{\overline{\bf p}}{\overline{p}^0}. \tag{11'}$$

La transformación de Lorentz es

$$ \overline{\Delta t} ~=~\gamma(\Delta t-\beta x^1(\Delta t)), \qquad \overline{x}^1(\overline{\Delta t}) ~=~\gamma(x^1(\Delta t)-\beta \Delta t), $$ $$ \qquad \overline{x}^2(\overline{\Delta t}) ~=~x^2(\Delta t), \qquad \overline{x}^3(\overline{\Delta t})~=~x^3(\Delta t), \tag{12}$$

y

$$\overline{p}^0~=~\gamma(p^0-\beta p_1) , \qquad \overline{p}_1~=~\gamma(p_1-\beta p^0), \qquad \overline{p}_2~=~p_2, \qquad \overline{p}_3~=~p_3 .\tag{13}$$

Las ecuaciones (11) y (11') sólo pueden cumplirse si se cumple lo siguiente fórmulas relativistas mantener

$$ \overline{v}^1~=~\frac{v^1-\beta}{1-\beta v^1}, \quad \overline{v}^2~=~\frac{v^2}{\gamma(1-\beta v^1)},\quad \overline{v}^3~=~\frac{v^3}{\gamma(1-\beta v^1)}, \quad\text{(rel. velocity addition)}\tag{14} $$

y

$$ \overline{x}^1_0~=~\frac{x^1_0}{\gamma(1-\beta v^1)}, \quad \overline{x}^2_0~=~x^2_0+\frac{\beta v_2x^1_0}{1-\beta v^1} , \quad \overline{x}^3_0~=~x^3_0+\frac{\beta v_3x^1_0}{1-\beta v^1}, \quad \text{(length contr.)}. \tag{15} $$

Por otro lado, la primera ecuación de (13) da como resultado

$$ \frac{\overline{p}^0}{p^0} ~=~\gamma(1-\beta v^1). \tag{16}$$

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación (9): $$ x^1_0 p^0~=~\overline{x}^1_0 \overline{p}^0. \tag{17}$$

$\Box$

II) Observaciones:

1. En la primera parte se analiza la invariancia local de Poincare. Por lo tanto, también existe una versión integrada (con el cambio apropiado de las regiones de integración bajo las transformaciones de Poincare).

2. La parte I se refiere a los sistemas formados por partículas de un solo tipo. La generalización a las mezclas se discute parcialmente, por ejemplo, en la Ref. 2.

3. Una prueba similar a la de la parte I muestra que la simpléctica $2$ -(3) es invariante bajo transformaciones restringidas de Poincare.

Referencias:

1. J. Goodman, Temas de astrofísica de alta energía , 2012, p.12-13.
2. S. R. de Groot, W. A. van Leeuwen y Ch. G. van Weert, Teoría cinética relativista, 1980.

Answer 2

EDIT: Después de pensarlo un poco, ya no estoy seguro de que esta prueba sea realmente correcta. Sin embargo, voy a dejar esta respuesta para la contabilidad hasta que lo resuelva.

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He aquí una prueba bastante sencilla. Primero hacemos algunas suposiciones:

1. El impulso $\mathbf p$ y el Hamiltoniano $H(\mathbf x,\mathbf p,t)$ se comportan como un cuatro-vector conjunto bajo una transformación de Lorentz, es decir, como $$ p^\mu=(H,\mathbf p). $$
2. Dado que la invariabilidad bajo rotaciones y traslaciones es obvia, basta con considerar sólo los impulsos en una dirección espacial. Por lo tanto, trabajaré con un espaciotiempo bidimensional con coordenadas $(t,x)$ ( $c=1$ )

Una transformación de Lorentz tiene entonces la forma $$ \left(\begin{matrix} t^\prime \\ x^\prime\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cosh(\phi) & -\sinh(\phi) \\ -\sinh(\phi) & \cosh(\phi)\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} t \\ x\end{matrix}\right), $$ y lo mismo ocurre con $t$ y $x$ sustituido por $H$ y $p$ respectivamente. En particular, como el hamiltoniano es una función, esto significa $$ H^\prime(x^\prime,p^\prime,t^\prime)=\cosh(\phi)H(x,p,t)-\sinh(\phi)p \\ p^\prime=\cosh(\phi)p-\sinh(\phi)H(x,p,t) \\ t^\prime=\cosh(\phi)t-\sinh(\phi)x \\ x^\prime=\cosh(\phi)x-\sinh(\phi)t. $$

Tenemos que demostrar que las transformaciones de Lorentz son canónicas. Para ello utilizamos la formulación impar-dimensional de la dinámica hamiltoniana. El espacio de fase tiene las coordenadas $(x,p,t)$ y la forma Poincaré-Cartan es $$ \theta=pdx-H(x,p,t)dt. $$ Utilizamos la definición ampliada de las transformaciones canónicas, según la cual la transformación $$ x^\prime=x^\prime(x,p,t) \\ p^\prime=p^\prime(x,p,t) \\ t^\prime=t^\prime(x,p,t) $$ es canónica si $$ \theta^\prime=p^\prime dx^\prime-H^\prime(x^\prime,p^\prime,t^\prime)dt^\prime=\theta+dW $$ para alguna función $W$ .

Insertando la transformación de Lorentz explícitamente se obtiene $$ \theta^\prime=\left(\cosh(\phi)p-\sinh(\phi)H\right)\left(\cosh(\phi)dx-\sinh(\phi)dt\right) \\ -\left( \cosh(\phi)H-\sinh(\phi)p \right)\left(\cosh(\phi)dt-\sinh(\phi)dx\right) \\ =pdx-Hdt=\theta, $$ es decir, la forma Poincaré-Cartan es invariante, por lo que las transformaciones de Lorentz son canónicas.

Esencialmente hemos terminado, pero para mostrar la invariancia del volumen de forma más explícita, el potencial simpléctico (canónico $1$ -) para una hipersuperficie $\sigma:\Sigma\rightarrow P$ ( $P$ es el espacio de fase impar-dimensional) es $$ \theta_\Sigma=\sigma^\ast\theta, $$ y la forma simpléctica es $$ \omega_\Sigma=d\theta_\Sigma. $$ Como el espacio de fase de igual tiempo es bidimensional, la forma simpléctica es la forma de volumen de Liouville.

El espacio de fase de igual tiempo para el observador no cebado viene dado por $t=c$ mientras que el espacio de fase de igual tiempo para el observador preparado es $t^\prime=c$ . Obtenemos para las formas simplécticas $$ \theta_{t=c}=pdx,\quad \omega_{t=c}=d\theta_{t=c}=dp\wedge dx, $$ y $$ \theta_{t^\prime=c}=p^\prime dx^\prime,\quad \omega_{t^\prime=c}=d\theta_{t^\prime=c}=dp^\prime\wedge dx^\prime, $$ que tienen la misma forma, por lo que el volumen del espacio de fase es invariante de Lorentz.

Answer 3

El espacio de fase es invariante de Lorentz. Se puede demostrar esto escribiendo una integral sobre $d^4$ x $d^4$ p y haciendo una transformación de Lorentz, pero hay una bonita y corta prueba en el libro de Padmanabhan "Gravitation", p.26 :

Para un observador que se mueve con cuatro velocidades $u_i$ el elemento propio de tres volúmenes viene dado por $d^3V = u_0d^3x$ que es un invariante escalar. Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que la cantidad cantidad $d^4V = dx \ dy \ dz \ dt$ es un escalar. Multiplicando esto por $1 = u_0\frac{d\tau}{dt}$ y señalando que $d\tau$ es invariante, concluimos que $d^3V = u_0d^3x$ es un invariante.