Algunos detalles se pierden por el hecho de que $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$ . He ajustado esta respuesta para aceptar $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=a$ para exponer esos detalles.
Si $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=a$ entonces $f'(f^{-1}(0))=f'(0)=a$ . Además, si $f^{(k)}(0)=0$ para $1<k<n$ pero $f^{(n)}(0)\not=0$ podemos usar L'Hopital dos veces para obtener $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{f(x)-ax}{x/a-f^{-1}(x)} &=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-a}{1/a-1/f'(f^{-1}(x))}\\ &=af'(f^{-1}(0))\;\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-a}{f'(f^{-1}(x))-a}\\ &=a^2\cdot\lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{f''(f^{-1}(x))/f'(f^{-1}(x))}\\ &=a^2f'(f^{-1}(0))\;\lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{f''(f^{-1}(x))}\\ &=a^3\cdot\lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{f''(f^{-1}(x))}\tag{1} \end{align} $$ Tenga en cuenta que si $f^{(k)}(0)=0$ , L'Hopital produce $$ \begin{align} a^{k+1}\cdot\lim_{x\to0}\frac{f^{(k)}(x)}{f^{(k)}(f^{-1}(x))} &=a^{k+1}\cdot\lim_{x\to0}\frac{f^{(k+1)}(x)}{f^{(k+1)}(f^{-1}(x))/f'(f^{-1}(x))}\\ &=a^{k+1}f'(f^{-1}(0))\;\lim_{x\to0}\frac{f^{(k+1)}(x)}{f^{(k+1)}(f^{-1}(x))}\\ &=a^{k+2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{f^{(k+1)}(x)}{f^{(k+1)}(f^{-1}(x))}\tag{2} \end{align} $$ Utilizando $(1)$ y repitiendo $(2)$ , obtenemos que $$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-ax}{x/a-f^{-1}(x)}=a^{n+1}\frac{f^{(n)}(0)}{f^{(n)}(f^{-1}(0))}=a^{n+1}\tag{3} $$ Supongamos que $g^{(k)}(0)=0$ para $0\le k<m$ y $g^{(m)}(0)\not=0$ y $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}=1$ . Entonces $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{g^{(k)}(h(x))}{g^{(k)}(x)} &=\lim_{x\to0}\frac{g^{(k+1)}(h(x))h'(x)}{g^{(k+1)}(x)}\\ &=h'(0)\lim_{x\to0}\frac{g^{(k+1)}(h(x))}{g^{(k+1)}(x)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{g^{(k+1)}(h(x))}{g^{(k+1)}(x)}\\ &=\frac{g^{(m)}(h(0))}{g^{(m)}(0)}\\ &=1\tag{4} \end{align} $$
Para terminar, dejemos que $f(x)=\sin(\tan(\arcsin(\arctan(x))))$ , $h(x)=\tan(\sin(x))$ y $a=1$ . Entonces, $$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\frac{\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))}{\arcsin(\arctan(x))-\arctan(\arcsin(x))}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{f(h(x))-ah(x)}{h^{-1}(x/a)-h^{-1}(f^{-1}(x))}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{f(h(x))-ah(x)}{h(x)/a-f^{-1}(h(x))}\frac{h(x)/a-f^{-1}(h(x))}{x/a-f^{-1}(x)}\frac{x/a-f^{-1}(x)}{h^{-1}(x/a)-h^{-1}(f^{-1}(x))}\\ &=a^{n+1}\tag{5} \end{align} $$ porque $$ \lim_{x\to0}\frac{f(h(x))-ah(x)}{h(x)/a-f^{-1}(h(x))}=a^{n+1} $$ por $(3)$ y $$ \lim_{x\to0}\frac{h(x)/a-f^{-1}(h(x))}{x/a-f^{-1}(x)}=1 $$ por $(4)$ utilizando $g(x)=x/a-f^{-1}(x)$ y $$ \lim_{x\to0}\frac{x/a-f^{-1}(x)}{h^{-1}(x/a)-h^{-1}(f^{-1}(x))}=\frac{1}{1/h'(h^{-1}(0))}=1 $$
Resumen: Dejar $g(x)=ah(x)$ obtenemos que si $$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=a $$ y $f^{(k)}(0)=g^{(k)}(0)$ para $1<k<n$ pero $f^{(n)}(0)\not=g^{(n)}(0)$ entonces $$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=a^{n+1} $$
Un enfoque más sencillo: Convencido de que debe haber un enfoque más sencillo, he vuelto a analizar esta respuesta.
Para algunos $n>1$ , asuma que
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$f,g\in C^n$
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$f^{(k)}(0)=g^{(k)}(0)$ para $k< n$ y $f^{(n)}(0)\not=g^{(n)}(0)$
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$f(0)=0$ y $f'(0)=a\not=0$
Estos supuestos implican que $f(x)=ax+O(x^2)$ y $g(x)=ax+O(x^2)$ .
Además, $f^{-1}(x)=x/a+O(x^2)$ y $g^{-1}(x)=x/a+O(x^2)$ .
La hipótesis 2 implica que $$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(0)-g^{(n)}(0)}{n!}\not=0\tag{6} $$ Sustituyendo $x\mapsto f^{-1}(x)$ y utilizando $\lim\limits_{x\to0}\frac{g(g^{-1}(x))-g(f^{-1}(x))}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=g'(0)=a$ rinde $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{x^n} &=\lim_{x\to0}\frac{f(f^{-1}(x))-g(f^{-1}(x))}{f^{-1}(x)^n}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{g(g^{-1}(x))-g(f^{-1}(x))}{f^{-1}(x)^n}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{a(g^{-1}(x)-f^{-1}(x))}{(x/a)^n}\\ &=a^{n+1}\lim_{x\to0}\frac{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}{x^n}\tag{7} \end{align} $$ Dividiendo ambos lados de $(7)$ por $\lim\limits_{x\to0}\frac{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}{x^n}$ rinde $$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=a^{n+1}\tag{8} $$
