Demostrar que $x^6+x^3+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$

Question

Esto es parte de una pregunta más amplia en la que se supone que debo determinar si $x^6+x^3+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ , $\mathbb{F}_3$ , $\mathbb{F}_{19}$ y $\mathbb{Q}$ .

Para $\mathbb{F}_3$ y $\mathbb{F}_{19}$ es bastante fácil encontrar las raíces y factorizar, mientras que sobre $\mathbb{Q}$ Puedo sustituir y luego aplicar a Eisenstein.

Me cuesta pensar en cómo demostrar que es irreductible sobre $\mathbb{F}_2$ (Estoy bastante seguro de que lo es). Está claro que no tiene ninguna raíz en $\mathbb{F}_2$ y, por tanto, lo único que queda por demostrar es que ningún polinomio de grado 2 ó 3 lo divide, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.

Cualquier ayuda que pueda ofrecerme será muy apreciada.

Answer 1

Busquemos factores de grado $3$ . Supongamos (sobre $\mathbb F_2$ ) $$x^6 + x^3 + 1 = (x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)(x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0)$$ Desde $a_0 b_0 = 1$ Debemos tener $a_0 = b_0 = 1$ . Al mirar el $x^5$ y $x^1$ términos, debe tener $a_2=b_2$ y $a_1=b_1$ . Pero entonces el $x^3$ El término de la derecha es $0$ .

El caso de un factor de grado $2$ es similar.

Answer 2

$f(x)=x^6+x^3+1=(x^9-1)/(x^3-1)$ es el noveno polinomio ciclotómico. Sus ceros son las primitivas raíces primitivas de la unidad.

Mientras la característica de $F$ no son tres, $f$ tiene seis ceros distintos en un campo de extensión de $f$ . Si $\alpha$ es uno, entonces $\alpha^9=1$ y $\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^9$ son todos distintos. Por el teorema de Lagrange, si $\alpha$ está en un campo finito, de orden $q$ entonces $9\mid(q-1)$ .

Dejemos que $K=\Bbb F_2(\alpha)$ tener orden $q$ . Entonces $q$ es una potencia de $2$ y de hecho $q=2^k$ donde $k\le 6$ (como el grado de $f$ es $6$ ). Pero $2^k-1$ debe ser un múltiplo de $9$ y el más pequeño $k$ con $9\mid(2^k-1)$ es $k=6$ . Por lo tanto, $K$ es un grado $6$ extensión de $\Bbb F_2$ para que $f$ debe ser irreducible sobre $\Bbb F_2$ .

Por consideraciones similares se puede encontrar el grado de $\Bbb F_p(\alpha)$ para cualquier primo $p$ y así determinar los grados de los factores irreducibles de $f(x)$ en $\Bbb F_p$ .

Answer 3

Esta respuesta asumirá que usted conoce algo de teoría de campos.

Consideremos el polinomio irreducible

$g(X) = X^2+X+1 \in \mathbb{F}_2[X]$

y el polinomio

$f(X) = X^6+X^3+1 \in \mathbb{F}_2[X]$

Dejemos que $\alpha_1,\alpha_2$ sean las raíces de $g$ en un cierre algebraico fijo $\overline{\mathbb{F}_2}$ de $\mathbb{F}_2$ . Sea $\beta_{11},\beta_{12},\beta_{13}$ sean las raíces cúbicas de $\alpha_1$ y que $\beta_{21},\beta_{22},\beta_{23}$ sean las raíces cúbicas de $\alpha_2$ . Desde $g(X^3) = f(X)$ tenemos que el $\beta_{ij}$ son todas las raíces de $f$ en $\overline{\mathbb{F}_2}$ .

¿Puedes argumentar por qué adosar cualquiera de estas raíces a $\mathbb{F}_2$ da necesariamente un grado $6$ extensión de $\mathbb{F}_2$ ?