¿Cómo encontrar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias?

Question

Para esta pregunta, estoy atascado en encontrar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la serie de potencias. Esto es lo que tengo hasta ahora. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Encuentra el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la serie de potencias.

$$\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \sqrt{ln(n)}}$$

$\lim_{ n \to \infty} |\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n (x-a)^n}|$

\= $\lim_{ n \to \infty}|\frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)\sqrt{ln(n+1)}} * \frac{n \sqrt{ln(n)}}{(x-1)^n}|$

\= $\lim_{ n \to \infty}| \frac{(x-1)}{(n+1)\sqrt{ln(n+1)}} * n\sqrt{ln(n)}|$

Answer 1

El radio de convergencia es fácil: es 1. Basta con utilizar el $n^{th}$ prueba de la raíz en lugar de la prueba de la proporción. El $n^{th}$ raíz del denominador tiende a 1 y la $n^{th}$ raíz del valor absoluto del numerador va a $|x-1|$ que es menor que 1 para $x\in(0,2)$ y mayor que 1 para $x\notin[0,2]$ . Entonces todavía hay que averiguar qué ocurre en x=0 y x=2. Para x=2 esto se simplifica a una serie que se sabe que diverge, como se puede ver haciendo la integral de aproximación con la sustitución de $u$ para $ln(n)$ . Para x=0 se tiene una serie alterna con términos decrecientes, por lo que converge, por lo que el intervalo de convergencia es $[0,2)$ .