Demostrando que $\sum \frac{n^{n+1/n}}{(n+1/n)^n}$ diverge

Question

Demuestre que la serie $$\sum \frac{n^{n+1/n}}{(n+1/n)^n}$$ diverge

La prueba de la proporción no es concluyente y este límite no es fácil de calcular. Así que he probado la prueba de comparación sin éxito.

Answer 1

Tal vez así sea más claro: $$\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+1/n\right)^n}=\frac{\sqrt[n]n}{\left(1+\frac1{n^2}\right)^n}$$

Answer 2

Aquí la cancelación de un factor $n^n$ funciona: $$ \frac{n^{n+1/n}}{(n+1/n)^n}=\frac{n^{1/n}}{(1+\frac1{n^2})^n}\to\frac11=1. $$

Answer 3

Tenemos

$$ \frac{n^{n+1/n}}{(n+1/n)^n}=\frac{n^{1/n}}{(1+1/n^2)^n}\xrightarrow{n\to\infty}1\ne0$$ por lo que la serie es divergente.

Answer 4

Aquí hay una prueba sin usar $\lim_{n \to \infty}{(1+1/n^2)^n}=1 $ :

$$\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+1/n\right)^n} \ge \frac{n^{n+1/n}}{\left(n+1\right)^n}=\frac{n^{1/n}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{n^{1/n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{e}\ne0$$