Si $f$ es continua, entonces $(f_n)_n$ converge puntualmente a $f$

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función. Considere para cada $n \in \mathbb{N}_0$ la función $$ f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f(x + 1/n). $$ Necesito determinar si lo siguiente es falso o verdadero:

si $f$ es continua, entonces la secuencia $(f_n)_n$ converge puntualmente a $f$ en $\mathbb{R}$ .

Creo que es cierto. Para demostrar esto, tenemos que demostrar que $$ \forall x \in \mathbb{R}, \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \Rightarrow | f_n(x) - f(x) | < \epsilon. $$ Estaba pensando que tenemos que usar la desigualdad del triángulo para obtener $$ | f_n(x) - f(x) | $$ menor que epsilon, utilizando la continuidad de $f$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo hacerlo. Se agradecería la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $x\in\mathbb R$ y $\varepsilon >0$ . Desde $f$ es continua, existe un $\delta>0$ s.t. $$\forall t\in (x-\delta,x+\delta)\quad |f(t)-f(x)|\leq \varepsilon. $$

Como la secuencia $(x+1/n)_n$ converge a $x$ como $n\to+\infty$ existe $N\in\mathbb N$ s.t. $$\forall n\in\mathbb N\quad n\geq N\Rightarrow x+1/n \in (x-\delta,x+\delta)$$ así $|f_n(x)-f(x)|=|f(x+1/n)-f(x)|\leq \varepsilon\quad \forall n\geq N. $

Answer 2

Para episolon-delta:

Suponemos que $f$ es continua. Sea $x_0 \in \mathbb{R}$ y $\epsilon \gt 0$ . Como $f$ es continua, existe un $\delta \gt 0$ , de modo que para todo $x \in \mathbb{R}$ con $\lvert x-x_0\rvert \lt \delta$ tenemos $\lvert f(x) - f(x_0)\rvert \lt \epsilon$ .
Ahora encontramos un $n_0 \in \mathbb{N}: \frac{1}{n_0} \lt \delta$ . Sea $n \geq n_0$ . Entonces $$\lvert(x_0 + \frac{1}{n}) - x_0\rvert = \lvert \frac{1}{n}\rvert = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} \lt \delta \implies \lvert f(x_0 + \frac{1}{n}) - f(x_0)\rvert = \lvert f_n(x_0) - f(x_0)\rvert \lt \epsilon$$