Ejemplos más sencillos de anillos que no son isomorfos a sus opuestos

Question

¿Cuáles son los ejemplos más sencillos de anillos que no son isomorfos a sus anillos opuestos? ¿Existe una ciencia para construirlos?

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El único ejemplo sencillo que conozco:

En el Álgebra Básica de Jacobson (vol. 1), sección 2.8, hay un ejercicio que dice lo siguiente:

Dejemos que $u=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\in M_3(\mathbf Q)$ y que $x=\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^2 \end{pmatrix}$ , $y=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , donde $u$ es como se indica y $0$ y $1$ son cero y las matrices unitarias en $M_3(\mathbf Q)$ . Por lo tanto, $x,y\in M_6(\mathbf Q)$ . Jacobson da pistas para demostrar que el subring de $M_6(\mathbf Q)$ generado por $x$ y $y$ no es isomorfo a su opuesto.

Los ejemplos parecen ser bien conocidos por la gente de las álgebras de operadores:

Véase, por ejemplo, el documento "A Simple Separable C*-Algebra Not Isomorphic to Its Opposite Algebra" por N. Christopher Phillips, Proceedings of the American Mathematical Society Vol. 132, No. 10 (Oct., 2004), pp. 2997-3005.

Answer 1

He aquí un ejemplo explícito de un álgebra simple central sobre $\mathbb{Q}$ no es isomorfo a su opuesto (que no es más que un ejemplo detallado de lo que explicó Pete).

Tomemos primero una extensión cíclica cúbica de Galois $L/\mathbb{Q}$ por ejemplo $L = \mathbb{Q}[x] / (x^3 + x^2 − 2x − 1)$ y que $\rho$ sea un elemento no trivial de $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ . Tomemos ahora un elemento arbitrario $\gamma \in \mathbb{Q}$ que no es la norma de un elemento en $L$ . Definir $$D = L \oplus zL \oplus z^2L,$$ donde $z$ es un nuevo "símbolo" sujeto a las relaciones $z^3 = \gamma$ y $zt = t^\rho z$ para todos $t \in L$ . Entonces $D$ es un álgebra central de división simple de grado $3$ (es decir, de dimensión $9$ ), y como su imagen en $\operatorname{Br}(\mathbb{Q})$ tiene orden $3$ no es isomorfo a su opuesto.

Como se puede imaginar, este procedimiento funciona para cualquier campo que admita una extensión cíclica (de grado $>2$ ) para los que la norma es no subjetiva.

Answer 2

Hola Amri,

Esto es un poco tarde, pero es mi clase favorita de ejemplos. Si $X$ es una variedad afín suave sobre $\mathbb{C}$ (decir), y $\mathcal{D} = \mathcal{D}(X)$ es su álgebra de operadores diferenciales, entonces el álgebra opuesta $\mathcal{D}^{op}$ es isomorfo a $\mathcal{D}(K) = K\otimes \mathcal{D}\otimes K^{-1}$ , donde $K$ denota el módulo canónico de $X$ . [Esto también es cierto cuando $X$ es Gorenstein pero no necesariamente suave--ver el trabajo de Yekutieli].

Así que uno obtiene respuestas a su pregunta cuando $X$ no tiene un haz canónico trivial. [Y por supuesto la historia se sheafifica para cualquier variedad suave].

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EDIT: La primera vez escribí sin cuidado (gracias al comentario de Amri por resaltarlo). Hay que tener en cuenta que $\mathcal{D}(K)$ actúa sobre $K$ a la izquierda. Dado que una izquierda $\mathcal{D}$ -sobre un haz vectorial (módulo proyectivo finitamente generado) es lo mismo que una conexión plana, se tiene $\mathcal{D}\cong \mathcal{D}(K)$ si y sólo si $K$ admite una conexión plana. La primera clase de Chern de $K$ es un obstáculo para la existencia de una conexión plana. Así que elija su variedad afín favorita (véase también esta pregunta del modus operandi para hablar de ello). Una discusión bastante completa de la (no) trivialidad de los anillos de operadores diferenciales retorcidos (TDO) puede encontrarse en Beilinson-Bernstein "A proof of Jantzen conjectures".

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Esta historia también aclara un poco por qué los operadores diferenciales sobre las semidensidades, es decir $\mathcal{D}(K^{1/2}) = K^{1/2}\otimes \mathcal{D}\otimes K^{-1/2}$ juega un papel especial en el estudio de los anillos de operadores diferenciales y (retorcido) $\mathcal{D}$ -(es canónicamente isomorfo a su álgebra opuesta).

Answer 3

Un ejemplo particularmente sencillo de un álgebra no isomorfa a su opuesta (graduada) es la $\mathbb{R}$ -Álgebra $\mathbb{C}$ , donde $1$ es par y $i$ es impar. Esta es la ( $\mathbb{Z}/2$ -graduada) del álgebra de Clifford real $Cl(-1) = \langle f \mid f^2 = -1 \rangle$ . Su opuesto es el álgebra de Clifford $Cl(1) = \langle e \mid e^2 = 1 \rangle$ cuya álgebra no graduada subyacente es isomorfa a $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ .

Según la discusión en las otras respuestas, estas dos álgebras representan $1$ y $-1 = 7$ en el grupo graduado de Brauer $\mathbb{Z}/8$ de $\mathbb{R}$ .

Answer 4

Ya se han dado muchos ejemplos; aquí hay otro, sólo por su propio interés:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión infinita contable sobre un campo contable $K$ .

Dejemos que $E$ sea el $K$ -de endomorfismos de $V$ . Afirmo que $E$ no es isomorfo a su opuesto (incluso como anillo, es decir, como $\mathbf{Z}$ -álgebra). Precisamente:

• (1) para cada $g\in E-\{0\}$ , $gE=\{gf:f\in E\}$ es incontable [de continuo cardinal]
• (2) existe $f\in E-\{0\}$ tal que $Ef=\{gf:g\in E\}$ es contable: [es decir, esto se cumple si $f$ tiene rango finito (en caso contrario tiene cardinal continuo)]

Permítanme justificar las afirmaciones que no están entre corchetes. En (2) se cumple porque si $B$ es un subconjunto finito de $E$ tal que $f(B)$ abarca $f(E)$ entonces cada elemento de $Ef$ se determina por su restricción a $B$ .

En (1), basta con fijar una línea $L$ no en el núcleo de $g$ y que $f$ alcance sobre el espacio $Y$ mapas lineales $V\to L$ . Dado que el dual de $V$ tiene una dimensión incontable, $Y$ tiene una dimensión [continua] incontable. Y $f\mapsto gf$ es inyectiva en la restricción a $Y$ .

Tal vez en este caso $E$ y $E^{\mathrm{op}}$ no son elementalmente equivalentes, pero esto requeriría otro argumento.