sobre $C([0,1])$ con la métrica sup

Question

Definir el espacio $C([0,1])$ como el espacio de las funciones continuas $f : [0,1] \mapsto \Bbb R$ con $C([0,1])$ $$ d(f,g) = \sup _{x \in [0,1]}{|f(x)-g(x)|} , $$ así que deja que $$A= \left\{f \in C([0,1])\ \middle| \ 0 <\int_0^1 f(x) \ \mathrm{d}x < 1\right\}$$ ahora es $A$ ¿abierto, cerrado, delimitado, conectado o compacto?

Creo que $A$ está abierto porque para cada $f \in A $ tenemos $B_t (f) \subseteq A $ tal que $t:= 1- \int_0^1 f(x) \ \mathrm{d}x $ .(nota que $B_t (f) $ es bola abierta con centro $f$ y radios $t)$ . $A$ no está cerca porque si dejamos que $f_n (x)= \frac{1}{n}$ entonces $ 0< \int_0^1 f_n(x) \ \mathrm{d}x=\frac{1}{n} <1 $ y para cada $1< n \in \mathbb{N}$ , $ f_n(x) \in A$ y $lim_{n \to \infty} f_n(x)=0$ entonces $ \int_0^1 lim_{n \to \infty} f_n(x) \ \mathrm{d}x=0 $ entonces $ lim_{n \to \infty} f_n(x) \notin A$ por lo que $A$ no está cerca y sin embargo $A$ no es compacto .

Answer 1

La función integral es una aplicación lineal y un miembro del dual del espacio $C([0,1])$ para que tengas eso

$A=(\int_0^1dx)^{-1}((0,1))$

que es abierto porque es la imagen inversa de un conjunto abierto con respecto a una función continua.

Así que $A$ no está cerrado porque $A\neq C([0,1])$ , $A\neq \emptyset$ y $C([0,1])$ es un espacio vectorial topológico y, por tanto, está conectado.

$A$ no es compacto porque no está cerrado en $C([0,1])$

Está conectado porque es un subconjunto convexo.

No está acotado porque se puede elegir para cada $\epsilon>0$ una función continua $f_\epsilon$ tal que existe $x\in [0,1]$ para lo cual $f_\epsilon(x)>\epsilon$ pero $0<\int_0^1f_\epsilon(x)dx<1$

Answer 2

$A$ no está acotado

El mapa lineal a trozos definido por $f_n(0)=f_n(1/n)=f_n(1)=0$ y $f_n(1/(2n))=n$ es tal que $\int_0^1 f_n = 1/2$ pero $d(f_n,0) = n$ no tiene límites.

$A$ está conectado

$A$ está conectada porque es convexa.

Answer 3

El mapa $$\begin{array}{rccc}I\colon&C\bigl([0,1]\bigr)&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&f&\mapsto&\displaystyle\int_0^1f(x)\,\mathrm dx\end{array}$$ es continua. Como $A=I^{-1}\bigl((0,1)\bigr)$ , $A$ está abierto. Pero $A$ no está cerrado, por el argumento que has utilizado. Como no es cerrado, no es compacto. Pero está conectada: si $f,g\in A$ , sólo hay que tener en cuenta $$\begin{array}{rccc}\gamma\colon&[0,1]&\longrightarrow&A\\&t&\mapsto&tg+(1-t)f.\end{array}$$ Entonces $\gamma$ es continua, $\gamma(0)=f$ y $\gamma(1)=g$ . Por lo tanto, $A$ está conectado a la ruta.