1. Supongamos que $2^m;\ m\ge 2$ puede expresarse como la suma de enteros consecutivos $n+1,n+2,\dots n+k$ . Entonces es la diferencia entre la suma del primer $k$ enteros y la suma de los primeros $n$ enteros. $$2^m=\frac{k(k+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{k^2-n^2+k-n}{2}\Rightarrow 2^{m+1}=(k+n)(k-n)+(k-n)=(k+n+1)(k-n)$$ Ahora $(k+n)$ y $(k-n)$ tienen la misma paridad, por lo que $(k+n+1)$ y $(k-n)$ deben tener diferente paridad, es decir, uno de ellos debe ser impar. Pero $2^{m+1}$ no tiene factores impar, por lo que la suposición es falsa y $2^m$ no puede expresarse como la suma de enteros consecutivos.
Cualquier número de impar $2a+1$ puede expresarse como la suma de dos enteros consecutivos, $2a+1=a+(a+1)$
Cualquier número par $b$ no una potencia perfecta de dos tiene al menos un factor primo impar: $b=2^m\prod q_i$ donde $q_i$ son primos Impares, no necesariamente distintos.
Caso 1: $b$ contiene más de un factor primo impar: $i\ge 2$ . Sea $q_1=\min(q_i); j=\frac{q_1-1}{2}$ . También, $s=\frac{b}{q_1}$ . Los enteros consecutivos $s-j, s-j+1,\dots s,\dots s+j-1,s+j$ suma a $b$ ya que la secuencia contiene $q_1$ enteros de valor medio $s$ y $s\cdot q_1=b$ . Este enfoque seguramente funcionará para el factor primo impar más pequeño de $b$ y puede funcionar para algunos factores primos Impares mayores de $b$ también.
Caso 2: $b=2^mq$ . Entonces $b$ es la suma de $2^{m+1}$ enteros consecutivos: $$b=((\frac{q}{2}-\frac{2^{m+1}-1}{2})+(\frac{q}{2}-\frac{2^{m+1}-1}{2}+1)+\dots +(\frac{q}{2}-\frac{2^{m+1}-1}{2}+(2^{m+1}-1)))$$ Fíjate que cada término presenta la diferencia entre dos medios enteros, y por lo tanto da como resultado un número entero. Esta secuencia contiene $2^{m+1}$ enteros con un valor medio de $$\frac{(\frac{q}{2}-\frac{2^{m+1}-1}{2})+(\frac{q}{2}-\frac{2^{m+1}-1}{2}+(2^{m+1}-1))}{2}=\frac{q}{2}$$ Por lo tanto, la suma es $2^{m+1}\cdot \frac{q}{2}=2^mq=b$ .
2. Cualquier número par que sea múltiplo de $4$ puede expresarse como la suma de dos enteros Impares consecutivos: $4a=(2a-1)+(2a+1)$ .
Cualquier número compuesto de impar $b$ tiene al menos dos factores primos Impares: $b=\prod q_i$ donde $q_i$ son primos Impares, no necesariamente distintos, y $i\ge 2$ . Sea $q_1=\min(q_i); j=\frac{q_1-1}{2}$ . Además, deja que $s=\frac{b}{q_1}$ . Tenga en cuenta que $s$ es impar. Los enteros consecutivos de impar $s-2j, s-2(j+1),\dots s,\dots s+2(j-1),s+2j$ suma a $b$ ya que la secuencia contiene $q_i$ enteros de valor medio $s$ y $s\cdot q_1=b$ .
Si un número primo impar pudiera expresarse como la suma de dos o más enteros Impares consecutivos, sería igual al número de dichos enteros Impares consecutivos por su valor medio, que sería igual al menor más el mayor dividido por $2$ . Obsérvese que la media de dos números Impares es siempre un número entero. Por tanto, el número primo tendría factores, lo cual es una contradicción. Así que los números primos Impares no pueden expresarse como la suma de dos o más números Impares consecutivos.
Quedan así los números pares que son dos veces números Impares, que no pueden expresarse como la suma de dos o más números Impares consecutivos. La forma más fácil de ver esto es por referencia a las otras respuestas que señalan que los números que pueden expresarse como la suma de números Impares consecutivos son siempre la diferencia de cuadrados, y los números que son dos veces números Impares no pueden expresarse así. Si $b=2(2a+1)=4a+2$ entonces $b\equiv 2 \mod 4$ . Pero $\forall n: n^2\equiv 0,1 \mod 4$ así que $n_1^2-n_2^2 \equiv 0,1,3 \mod 4$
Como ejemplo de cómo un número impar puede representarse como la suma de enteros consecutivos o enteros Impares consecutivos de múltiples maneras, considere $$255=3\cdot 5\cdot 17=(127+128)=(84+85+86)=(49+50+51+52+53)=(7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23)=(83+85+87)=(47+49+51+53+55)$$
