Subconjuntos abiertos afines para acciones de grupos algebraicos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico reductor sobre un campo algebraicamente cerrado $K$ de la característica cero. Supongamos que $G$ actúa sobre una variedad afín $X$ . Supongamos que $X$ contiene una órbita abierta $U$ (así $\bar{U}=X$ ) que también es afín.

Pregunta 1: ¿Es necesariamente cierto que existe un $f\in K[X]$ tal que $U=X_f$ ?

Más concretamente, me gustaría obtener una respuesta a la siguiente pregunta más específica:

Pregunta 2: ¿Es necesariamente cierto que existe $f\in K[X]^G$ tal que $U=X_f$ ? O al menos que $G\cdot f$ es unidimensional sobre $K$ ?

Por supuesto, $X\backslash U$ es cerrado, y como $G$ es reductor, es el conjunto cero de algún $G$ -ideal estable. Pero esto aún no es suficiente para responder a la pregunta. En general, los subconjuntos abiertos afines en un esquema afín pueden no ser sólo los subconjuntos abiertos principales (véase por ejemplo ¿Caracterización teórica de anillos de afines abiertos? ). Como la situación aquí es mucho más particular, espero que también haya una respuesta más particular.

Answer 1

Como sospechaba, la respuesta es negativa: Dejemos que $G=SL(2,\mathbb C)$ y $U$ la órbita del $3$ -forma $c:=x_1^2x_2$ en $S^3\mathbb C^2$ y que $X$ sea su cierre. Claramente $X$ es afín. Se comprueba que el estabilizador de $c$ es trivial, por lo que $U\cong G$ también es afín. También se comprueba que $0\in X$ Así que $U\subsetneq X$ . Pero $U\ne X_f$ para cualquier $f$ desde $U$ ( $\cong G$ ) no lleva funciones invertibles no constantes.