¿Varias preguntas sobre el teorema del valor medio?

Question

Aquí está el teorema: "Sea $f : [a, b] \mathbb{R}$ sea una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ , donde $a < b$ . Entonces existe algún $c \in (a, b)$ tal que : $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ ".

Así que primero, si $\lim \limits_{x \to a}f(x)= -\infty$ et $\lim \limits_{x \to b}f(x)= +\infty$ ¿funciona este teorema? Si lo hace, ¿por qué?

En segundo lugar, si sustituimos $[a,b]$ a $\bar {\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ ¿el teorema es igual a la primera forma? ( $\bar {\mathbb{R}}$ es un conjunto compacto).

Gracias de antemano.

PS : Intento demostrar algunas generalizaciones de este teorema.

Answer 1

Si $f$ es continua en $[a,b]$ entonces $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ y $\lim_{x\to b}f(x)=f(b)$ nunca son iguales a $\pm\infty$ .

Para la segunda pregunta, si $[a,b]=[-\infty,\infty]$ ¿Qué es? $(f(b)-f(a))/(b-a)$ ?

En el caso de que podamos darle sentido, el resultado no es cierto en general. Consideremos, por ejemplo $f(x)=\arctan x$ . Entonces $f(\pm\,\infty)=\pm\,\pi/2$ y es razonable establecer $(f(a)-f(a))/(b-a)=0$ pero $f'(x)>0$ para todos $x\in(-\infty,\infty)$ .

Answer 2

Tendría que interpretar $b - a$ y $f(b) - f(a)$ si $a = ± ∞$ , $b = ± ∞$ , $f(a) = ± ∞$ o $f(b) = ± ∞$ para dar sentido al teorema.

Esto será cricital para, por ejemplo $f = x²$ en $[-∞..∞]$ (o $f = \mathrm{tan}²$ en $[-π/2..π/2]$ ) como entonces " $f(a) - f(b) = ∞ - ∞$ ".