¿La velocidad de la luz en todos los medios es independiente del marco de referencia?

Question

Sabemos que, la velocidad de la luz en el vacío es independiente del marco de referencia. La razón de este hecho la leí en ¿Por qué y cómo la velocidad de la luz en el vacío es constante, es decir, independiente del marco de referencia? . Del mismo modo, es la velocidad de la luz en un medio de índice de refracción $n \neq 1$ ¿también es independiente del marco de referencia?

He intentado enmarcar mi pregunta de forma visual. Así, consideremos la siguiente imagen:

Todo el montaje está en un medio de índice de refracción no igual a la unidad. La fuente de luz está en reposo con respecto al medio. Los cuadrados de color violeta debajo del haz de luz numerados $1,2,$ y $3$ son detectores de velocidad que podemos utilizar para determinar la velocidad del rayo de luz con respecto al marco de referencia unido a ellos. $1$ está en reposo con respecto a la fuente de luz. $2$ se mueve en paralelo al haz de luz y hacia la fuente con una velocidad de $v$ y $3$ se aleja con la misma velocidad. Ahora mi pregunta es, ¿la velocidad del haz de luz detectado por los tres detectores es igual? Si es en el vacío sabemos que son iguales. Pero, ¿qué ocurre en este caso?

Imagen de cortesía: Mi propio trabajo :)

Answer 1

Utilicemos la transformación de Lorentz para calcularlo. Sea S un marco de referencia en el que un sistema de coordenadas $(t,x)$ se utiliza. Sea S $'$ sea un marco que se mueve en el $x$ dirección relativa a S a la velocidad $v$ . La transformación de Lorentz afirma que si el evento A está en $(t,x)$ entonces sus coordenadas en S $'$ vienen dadas por \begin{eqnarray} t' &=& \gamma(t - v x / c^2) \\ x' &=& \gamma(x - v t) \end{eqnarray} donde $\gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2}$ . Consideremos ahora un pulso de luz que parte de $(0,0)$ y se propaga a la velocidad $c/n$ en relación con S. Por ejemplo, podría haber algo de agua en reposo en S, y $n$ es el índice de refracción de esta agua. En el momento $t$ en S, dicho pulso habrá alcanzado el evento $(t,x) = (t, ct/n)$ . Las coordenadas de este evento en relación con S $'$ vienen dadas por \begin{eqnarray} t' &=& \gamma(t - v (ct/n) / c^2) \\ x' &=& \gamma((ct/n) - v t) \end{eqnarray} Ahora las coordenadas del punto de partida son $(0,0)$ en ambos fotogramas, por lo que podemos encontrar la velocidad de este pulso en relación con S $'$ utilizando la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido: $$ \mbox{speed relative to S}' = \frac{x' - 0}{t' - 0} = \frac{c/n - v}{1 - v (c/n) / c^2} = \frac{c/n - v}{1 - v / n c}. $$ Si estás familiarizado con la fórmula de adición de velocidades, podrías encontrar este mismo resultado aplicándola. Ahora encontramos que cuando $n=1$ la velocidad relativa a S $'$ es igual a $c$ pero cuando $n \ne 1$ la velocidad relativa a S $'$ es pas igual a $c/n$ .

La fórmula anterior da la velocidad que será medida por su detector número 3, si se entiende que el detector funciona de la forma habitual midiendo distancias y tiempos en su propio marco de reposo. El resultado para el detector número 2 será $$ \frac{c/n + v}{1 + v / n c}. $$

Otra cuestión que se plantea es la velocidad de la luz en relación con el agua. Esto es sólo $c/n$ . En cuanto se dice "relativo al agua" entonces para calcularlo hay que utilizar el marco de reposo del agua. Fin de la historia. Pero alguien podría preguntar, en cambio, ¿cuál es la tasa de cambio de la distancia entre el pulso de luz y algo que flota en el agua? Si, en relación con un marco determinado, el agua fluye a una velocidad $w$ y la luz se mueve a una velocidad $u$ entonces la respuesta a esta pregunta es $u-w$ .

Answer 2

El propio medio constituye un marco de referencia preferente en el que la velocidad de la luz es $v=c/n$ . La velocidad de la luz en un marco de referencia que se mueve con respecto al medio cambiará anisotrópicamente.

Answer 3

La fórmula para sumar velocidades es $\frac {v_1 + v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$ . Enchufando $c$ en para $v_1$ rinde $c$ para cualquier $v_2$ . Introduciendo un valor de $v_1$ que no sea $c$ y un valor no nulo para $v_2$ da como resultado un valor distinto de $v_1$ .

En otras palabras, cualquier cosa que se observe que viaja a $c$ en un marco de referencia se observará que viaja a $c$ en todos los marcos de referencia. Cualquier cosa que se observe que se desplaza a una velocidad distinta de $c$ en un marco de referencia se observará que se desplaza a otras velocidades (y por "otras" quiero decir diferentes de su velocidad observada en el primer marco de referencia, no sólo diferentes de $c$ ) en otros marcos de referencia.

En particular, cualquier cosa que se desplace a una velocidad distinta de $c$ tiene un marco de referencia en reposo en el que se observará que tiene velocidad cero. Si el Detector 3 en su diagrama viaja a $\frac c n$ entonces la onda de luz parecerá una onda estacionaria.

Answer 4

La velocidad de la luz sólo difiere cuando se compara en dos medios con diferente índice de refracción. Con los cambios añadidos podemos decir que el detector con $v=v+$ detectará que la luz va $-v$ más lento que $c$ y viceversa.

Answer 5

Las otras respuestas dan algunos buenos resultados de cómo llegar al resultado correcto desde el marco de referencia del agua: Simplemente sumamos relativistamente las dos velocidades para ver que nuestra velocidad de la luz medida cambia con el movimiento del detector.

Sin embargo, la relatividad significa que el mismo resultado (hasta la dilatación del tiempo, obviamente) debería salir cuando lo miramos desde el marco de referencia del detector. ¿Y qué aspecto tiene eso?

Tenemos nuestro pulso de luz, que comienza en algún punto alejado del detector, y se mueve hacia él hasta que lo alcanza y se registra (y su velocidad se mide de alguna manera). Mientras lo hace, se mueve a través de un medio de refracción (el agua) que a su vez se mueve con respecto al marco de referencia.

Por lo tanto, el agua (desde la perspectiva del detector) sufre una contracción de Lorentz, lo que significa que se vuelve "más corta" en la dirección del movimiento. Para un flujo de agua, esto significa que se vuelve más densa: las moléculas a lo largo de la dirección del flujo aparecen aplastadas y más juntas.

Aunque los procesos exactos de cómo la interacción de la luz en la materia da lugar a un índice de refracción son complicados, para nuestra explicación basta con que dependa de la densidad: Si hay más materia en un volumen con la que interactuar, la luz se ralentizará más. Así, lo que cambia desde la perspectiva del detector es $n$ : El agua en movimiento tiene un índice de refracción diferente al del agua en reposo.