Cuando leo sobre los anillos locales finitos, todo el mundo supone en primer lugar que $|R|=p^t$ donde $R$ es un anillo local finito y $p$ es un primo. No entiendo por qué se puede suponer esto?
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Lord Shark the Unknown
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Existe un único ideal máximo $M$ en $R$ . Entonces $k=R/M$ es un campo y por tanto tiene orden de potencia primo. El ideal $M$ es nilpotente. Cada $M^i/M^{i+1}$ es un espacio vectorial de dimensión finita; su orden es una potencia de $|k|$ . Como $M^n=0$ para algunos $n$ Esto demuestra que el orden de $R$ es una potencia de $|k|$ .
Lord Shark the Unknown
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He aquí un argumento diferente, con algunas similitudes con el de Max, que puede resultar atractivo para quienes no estén familiarizados con los anillos artinianos.
La característica de $R$ es un número entero positivo $m$ . Si $m$ es una potencia potencia, entonces $R$ es un $m$ -grupo abeliano de torsión cuyo orden divide alguna potencia de $m$ : $|R|$ es una potencia primera.
De lo contrario, $m=st$ con $s$ , $t>1$ y coprima. Entonces $R=sR+tR$ . Los ideales $sR$ y $tR$ de $R$ son adecuados y se suman a $R$ . No pueden ambos estén contenidos en el ideal máximo de $R$ : contradicción.
Max
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Dejemos que $R$ sea un anillo local con ideal máximo $m$ .
$R/m$ es un campo $K$ de cardinalidad $p^k$ para algún primo $p$ y enteros $k$ .
Así, $p^k \cdot 1 \in m$ . Además, como $m$ es también el único ideal primo de $R$ (para anillos finitos, los ideales máximos y los ideales primos coinciden - véase mi comentario más abajo), debe ser el nilradical, y así $p^k\cdot 1$ debe ser nilpotente, por lo que $(p^k\cdot 1)^n= 0$ para algunos $n$ .
Pero $(p^k\cdot 1)^n= p^{kn}\cdot 1$ . Por lo tanto, el exponente del grupo $(R,+)$ es una potencia prima (divide a $p^{kn}$ ).
Es bien sabido que el orden de un grupo abeliano divide una potencia de su exponente, y por tanto el orden de $R$ también debe ser una potencia principal.
