Encontrar el área delimitada por $y=2 \sin{x} - 1$ y $y = \frac{x}{\pi}$

Question

[ACTUALIZACIÓN en negrita]

Encuentra el área delimitada por $y=2 \sin{x} - 1$ y $y = \frac{x}{\pi}$ para la gama $0 \le x \le \pi$

Realmente no sé cómo empezar... ¿Cómo puedo encontrar los interceptos de la curva/líneas?

Consigo que las 2 ecuaciones sean iguales entre sí:

$$ 2 \sin x - 1 = \frac{x}{\pi} $$ $$ 2 \sin x - 1 - \frac{x}{\pi} = 0 $$ $$ 2 \pi \sin x - \pi - x = 0 $$

Entonces, ¿qué hago?

Answer 1

Nota: El post ha sido editado según el comentario de GerryMyerson.

Área delimitada por 2 funciones $f1$ y $f2$ se puede encontrar mediante la integración de la función $f1-f2$

Primero debes identificar los puntos de intersección de las 2 curvas en el área que te interesa $0 \le x \le \pi$ en su caso. Esto es lo que has empezado a hacer.

por lo que hay que encontrar valores de x que satisfagan:

$2 \pi \sin x - \pi - x = 0$

Hay diferentes maneras de hacerlo, dependiendo de tu formación y de las herramientas que tengas a tu disposición.

Por ejemplo, podría:

1. Dibujar las curvas

2. Utilizar el análisis numérico

3. Expandir la función mediante series

4. Utilice un software

Usando 1,4 encontré que los puntos donde se cruzan las 2 curvas tienen valores de x x1=0,647 y x2=2,142 (bueno para 2 decimales)

Definir $D(x) = 2 \sin x - 1 - \frac{x}{\pi}$

$A=ABS(A1) + ABS(A2) + ABS(A3)$

Dónde:

$A1=\int_{0}^{0.647} D(x)$

$A2=\int_{0.647}^{2.142} D(x)$

$A3=\int_{2.142}^{\pi} D(x)$

El siguiente diagrama puede ayudarle.

Answer 2

El área entre las curvas $y= f(x)$ y $y=g(x)$ para el dominio $a \leq x \leq b$ viene dada por $$\int_a^b |f(x)-g(x)| dx.$$

Este es el razonamiento detrás de esta fórmula: el área entre las curvas $f(x)$ y $g(x)$ es la misma que el área entre $f(x)-g(x)$ y el $x$ -eje. (Intuitivamente, si piensas en el área original como un montículo de tierra, estás permitiendo que la tierra caiga hasta que esté al ras del suelo; hacer esto no cambia el área de la tierra).

La integral de $f(x)-g(x)$ le da la firmado área bajo la curva. Para obtener el área sin signo, hay que meter un valor absoluto.

Por tanto, el procedimiento para resolver este tipo de problemas es el siguiente:

1. Determinar si $f$ y $g$ cruzar en cualquier parte del dominio; en otras palabras, encontrar todos los $x$ en el dominio para el que $f(x)-g(x)=0$ .
2. Divida la integral anterior en $n+1$ piezas, donde $n$ es el número de puntos de cruce que has encontrado en el paso 1, de manera que en cada pieza $f(x)-g(x)$ es todo positivo, o todo negativo.
3. En cada pieza, sustituye el valor absoluto por $+$ o $-$ según el caso.
4. Integra cada pieza y suma los resultados para obtener la respuesta final.

Avísame si algo no está claro o si necesitas más ayuda.

Answer 3

Sugerencia

1. Intenta encontrar el número de intersecciones entre las curvas.

2. Llama a los puntos de intersección $x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n$

3. Intenta calcular $$\int_0^{x_1} f(x) - g(x)\, dx + \int_{x_1}^{x_2} g(x) - f(x)\, dx +\cdots+(-1)^{n}\int_{x_n}^{\pi} f(x) - g(x)\, dx$$