Una simple prueba de que $\bigl(1+\frac1n\bigr)^n\leq3-\frac1n$?

Question

La desigualdad $$ e_n:=\left(1+\frac1n\right)^n\leq3-\frac1n, $$ donde $n\in\mathbb{N}_+$, es cierto, porque sabemos, cómo LHS está conectado con $e$. El otro argumento es el estándar de la prueba de acotamiento de $(e_n)$, que usa el teorema del binomio.

Hay más elemental de las pruebas de esta desigualdad?

Answer 1

Puede utilizar la inducción.

Para $n=1$, claramente $2 \leq 2$. Suponga que tiene de algunos $n-1 \in \mathbb{N}$. A continuación,

$$\left(1+ \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \leq \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \leq \left( 3- \frac{1}{n-1} \right) \left(1 - \frac{1}{n} \right) = 3 - \frac{3}{n} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n(n-1)}.$$

Es a la izquierda para mostrar

$$-\frac{3}{n} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n(n-1)} \leq -\frac{1}{n}$$

o, equivalentemente,

$$ -3n+3-n+1 \leq -n+1,$$

es decir,$n \geq 1$. Desde $n-1 \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$ por elección, por lo que la desigualdad se cumple.

Answer 2

Desde $f(t)=\frac{1}{t}$ es una función convexa en $\mathbb{R}^+$, tenemos: $$\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\int_{n}^{n+1}\frac{dt}{t}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\tag{1}$$ por lo tanto: $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq \exp\left(1-\frac{1}{2n+2}\right)\leq\frac{e}{1+\frac{1}{2n+2}}=\frac{2n+2}{2n+3}e \tag{2}$$ que es más fuerte que el $ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq 3-\frac{1}{n}$ cualquier $n\geq 2$.

Answer 3

Podemos expandir usando el Teorema del Binomio:

$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}{k!} \le \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$

Ahora, $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \le 2 + \sum\limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k-1)} = 3 - \frac{1}{n}$

lo que demuestra la necesaria desigualdad.

Answer 4

Aquí:

Rápida respuesta, me quieres escribir?

NOTA: he cometido un error en la línea inferior (probablemente revolviendo el té), pero la solución está en los comentarios.