Esta es una pregunta basada en la heurística de que la mayoría de las cosas en topología algebraica/diferencial tienen un análogo en geometría algebraica.
El grupo fundamental clasifica los espacios de cobertura de un espacio topológico (puntiagudo, conexo, conectado por trayectorias, semilocalizado y simplemente conectado). Primero construimos la cubierta universal como un espacio de trayectorias y la dotamos de topología compacta-abierta. Y luego utilizamos la acción del grupo fundamental sobre la cubierta para definir el espacio como un cociente. Y por acciones de los subgrupos, construimos todos los espacios de cobertura, que están en correspondencia uno a uno con las clases de conjugación de los subgrupos del grupo fundamental del espacio apuntado.
La pregunta es: ¿hasta qué punto podemos trasladar esta configuración a la geometría algebraica? Ya existen las nociones apropiadas de coberturas etale y de grupos fundamentales etale, y mediante el GAGA para las variedades algebraicas lisas ya se puede ver alguna esperanza.
Entonces, ¿existen análogos geométricos algebraicos del teorema sobre la existencia de la cobertura universal y del teorema de clasificación de los espacios de cobertura en correspondencia uno a uno con las clases de conjugación de los subgrupos de los grupos fundamentales?
