Consideremos un cuerpo de masa $M$ . Sabemos que la luz no puede escapar de un agujero negro. La velocidad de la luz, que es la más alta posible, podría establecerse como velocidad de escape. Entonces $$\text{Escape velocity}^2=(2GM/r)$$ Resolver para $r$ obtenemos $$r=2GM/v^2$$ Desde $v=c$ ; $$r=2GM/c^2$$ Mi único problema con esta derivación es que ¿no deberíamos utilizar la mecánica relativista en lugar de la newtoniana? Si usamos la mecánica relativista, ¿hay alguna prueba similar a esta?
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user1379857
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El problema de tu derivación es que la noción newtoniana de velocidad de escape no es la misma que la noción de relatividad general de que la luz no puede escapar.
En la gravedad newtoniana, si se hace brillar un rayo de luz hacia el exterior desde el radio $2GM/c^2$ la luz saldrá realmente del radio y llegará hasta el infinito. Por supuesto, la luz se ralentizará a velocidades arbitrariamente lentas. Si se hace brillar la luz desde un radio inferior a $2GM/c^2$ La luz seguirá llegando fuera del "horizonte de sucesos" y sólo orbitará en una elipse. Por lo tanto, en la gravedad puramente newtoniana, no tenemos un horizonte de sucesos nítido.
En la relatividad general, una vez detrás del horizonte de sucesos, la luz no puede escapar en absoluto. Además, la luz siempre viajará a la velocidad de $c$ y no puede acelerar o ralentizar. Así que las dos imágenes físicas son muy diferentes.
Fíjate que en la Gravedad Newtoniana, un agujero negro no es negro. Todavía se pueden ver cosas salir de él. Sólo que esas cosas no pueden escapar hasta el infinito, pero sí pueden llegar muy lejos.
Joe Liversedge
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Si se supone que un objeto suficientemente compacto tiene un horizonte de sucesos, entonces la relación tiene que ser de la forma
$$r=\alpha GM/c^2,$$
donde $\alpha$ es una constante sin unidades. Esto se debe a que no hay otra forma de combinar la masa con las constantes universales $G$ y $c$ para obtener unidades de distancia. El hecho de que la derivación newtoniana obtenga $\alpha=2$ derecho es sólo suerte.
