Estoy intentando leer el libro de Hoffman Kunze sobre álgebra lineal y tengo una duda en un resultado concreto, (Teorema 1) de la sección 5.2. En concreto, el teorema dice:
Dejemos que $n > 1$ y que $D$ sea una alternancia $(n - 1)$ -función lineal en $(n - 1)\times (n - 1)$ matrices sobre $K$ . Para cada $j$ , $1 < j \le n$ la función $E_j$ definido por $$E_j(A) = \sum_{i=1}^n(-l)^{i+j}A_{ij}D_{ij}$$ es una alternancia $n$ -lineal sobre $n \times n$ matrices $A$ . Si $D$ es una función determinante, por lo que cada $E_j$ .
Aquí $D_{ij}=D[A(i|j)]$ donde $A(i|j)$ denota la matriz obtenida al suprimir el $i$ y la fila $j$ columna de $A$ .
Ahora mi pregunta se refiere al $n$ -parte lineal. Entiendo por qué $D_{ij}$ es lineal en todas las filas excepto en la $i$ la fila y que $D_{ij}$ es independiente del $i$ La tercera fila. Lo que no entiendo es por qué $D_{ij}$ es lineal en el $i$ La tercera fila.
Por ejemplo, si $n=2$ y $D([a])=a$ entonces $$D_{11}\begin{pmatrix} a+a'& b+b'\\c & d\end{pmatrix}=d$$ mientras que $$D_{11}\begin{pmatrix} a& b\\c & d\end{pmatrix}+D_{11}\begin{pmatrix} a'& b'\\c & d\end{pmatrix}=d+d=2d.$$
Sin embargo, los autores afirman $A_{ij}D_{ij}$ es $n$ -lineal.
