Estoy tratando de encontrar un vector propio generalizado en este problema. (Entiendo que la teoría general va mucho más profundo, pero sólo somos responsables de un número limitado de casos).
He encontrado vectores propios $\vec {u_1}$ y $\vec {u_2}.$
Cuando intento $u_1$ y $u_2$ como $u_3$ en esta ecuación: $$ (A - I)u_4 = u_3$$ Los sistemas son incoherentes.
¿Cómo puedo encontrar el $u_3$ ? Me han dicho que tiene algo que ver con $(A - I)^3 = 0$ pero eso es todo.
Nos dan la matriz:
$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\-2 & -2 & -1\\\end{bmatrix}$$
Queremos encontrar el polinomio característico y los valores propios resolviendo
$$|A -\lambda I| = 0 \rightarrow -\lambda^3+3 \lambda^2-3 \lambda+1 = -(\lambda-1)^3 = 0$$
Esto produce un único valor propio, $\lambda = 1$ con una multiplicidad algebraica de $3$ .
Si tratamos de encontrar los vectores propios, configuramos y resolvemos:
$$[A - \lambda I]v_i = 0$$
En este caso, después de la forma de fila reducida-echelón, tenemos:
$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}v_i = 0$$
Esto nos lleva a los dos vectores propios como él muestra, pero el problema es que no podemos usar eso para encontrar el tercero ya que obtenemos resultados degenerados, como tú has mostrado.
En su lugar, utilicemos el método de encadenamiento descendente para encontrar tres eigenvectores generalizados linealmente independientes.
Dado que el RREF de
$$[A - 1 I] = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}$$
Tenemos $E_3 = kernel(A - 1I)$ con dimensión $= 2$ por lo que habrá dos cadenas.
A continuación, ya que
$$[A - 1 I]^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}$$
el espacio Kernel $(A-1I)^2$ tiene dimensión $=3$ que coincide con la multiplicidad algebraica de $\lambda=1$ .
Así, una de las cadenas tendrá una longitud $2$ por lo que la otra debe tener una longitud $1$ .
Ahora formamos una cadena de $2$ vectores propios generalizados eligiendo $v_2$ en el núcleo $(A-1I)^2$ tal que $v_2$ no está en el núcleo $(A-1I)$ .
Como cada vector está en el núcleo $(A-1I)^2$ y la tercera columna de $(A-1I)$ es distinto de cero, podemos elegir:
$$v_2 = (1, 0, 0) \implies v_1 = (A-1I)v_2 = (1,1,-2)$$
Para formar una base para $\mathbb R^3$ necesitamos una cadena adicional de un vector propio generalizado. Este vector debe ser un vector propio independiente de $v_1$ . Desde
$$E_3 = ~\text{span}~ \left(\begin{bmatrix}0\\1\\-1\\\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\0\\1\\\end{bmatrix}\right).$$
y ninguno de estos vectores de extensión es a su vez un múltiplo escalar de $v1$ Podemos elegir cualquiera de ellos. Por lo tanto, dejemos que
$$w_1 = (0, 1, -1).$$
Ahora tenemos dos cadenas:
$$v_2 \rightarrow v_1 \rightarrow 0$$
$$w_1 \rightarrow 0$$
Entonces, para escribir la solución, tenemos:
$\displaystyle 1^{st}$ Cadena
$$x_1(t) = e^t \begin{bmatrix}1\\1\\-2\\\end{bmatrix}$$
$$x_2(t) = e^t\left(t \begin{bmatrix}1\\1\\-2\\\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}\right)$$
$\displaystyle 2^{nd}$ Cadena
$$x_3(t) = e^t \begin{bmatrix}0\\1\\-1\\\end{bmatrix}$$
Así:
$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) + x_3(t)$$
Tenga en cuenta que puede utilizar esta combinación lineal de $x(t)$ y verificar que efectivamente es una solución a $x' = Ax$ .
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