Definición del par en el marco del centro de masa (posiblemente acelerado)

Question

Mi nota de clase dice que el par en el marco del centro de masa ( $O^*$ ) de un cuerpo rígido es: $$\bf{G^*}=\sum \bf{r^* \times F}$$ donde $\bf{F}$ denota la fuerza real que produce el par y que esto es cierto independientemente de que el centro de masa esté acelerando (marco no inercial).

¿Implica esto que en un marco de aceleración (pero no de rotación), la percepción de las fuerzas "individuales" que actúan sobre el cuerpo es la misma que en un marco inercial? Por individuales me refiero a las fuerzas que contribuyen al término de la suma.

Entiendo que el término inercial - $M\bf{\ddot{R}}$ se requiere en la expresión de la fuerza resultante cuando se trabaja en dicho marco, pero no es necesario considerarlo porque no nos interesa la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo sino las individuales que están produciendo el par?

¿Qué tan defectuosos son mis argumentos?

Answer 1

Las fuerzas individuales no cambian, pero hay que añadir fuerzas ficticias que pueden o no contribuir al par. En el caso de un objeto que sufre una aceleración lineal, el término de inercia puede contribuir al par si tu origen de coordenadas no está en el centro de masa.

Answer 2

Para un sistema de partículas, con el origen del sistema de coordenadas tomado como el centro de masa (CM), $d\vec J/dt = \vec \tau$ donde $\vec J$ es el momento angular con respecto al CM y $\vec \tau$ es el par de las fuerzas en el marco inercial con respecto al CM. Esto es cierto incluso si el CM está acelerando. El CM de masa es especial en este sentido. Ver un buen texto de mecánica física, como Symon, Mechanics, para la derivación detallada que demuestra esta relación.

Además, las ecuaciones de Euler para el movimiento de un cuerpo rígido expresadas en términos de los ejes principales del cuerpo que giran con éste, utilizan las fuerzas en el marco de inercia para los pares.

Para el movimiento tridimensional general, si la rotación está restringida a un punto fijo, ese punto se toma como origen del sistema de coordenadas para evaluar el movimiento de rotación. Si el objeto no está limitado y se mueve libremente, el centro de masa (incluso si se acelera) se toma como origen del sistema de coordenadas para evaluar el movimiento de rotación; el movimiento de traslación se evalúa para el centro de masa utilizando la segunda ley. Para estas evaluaciones sólo se consideran las fuerzas reales en el marco no inercial.

Si el cuerpo está limitado a girar alrededor de un punto fijo y ese punto está acelerando en un marco inercial, la evaluación debe considerar las fuerzas ficticias presentes usando ese punto como origen. Un buen libro de mecánica de física intermedia/avanzada aborda el movimiento general de un cuerpo rígido; por ejemplo, véase Mechanic, de Symon, o Classical Mechanics, de Goldstein.

Answer 3

Una vez conocidas las fuerzas y sus posiciones, es posible calcular el par respecto a la COM. Las fuerzas pueden verse afectadas por la aceleración, pero suponiendo que se midan correctamente (mediante una célula de carga, por ejemplo) ese efecto ya se tiene en cuenta.

Por ejemplo, un juguete yoyo cae con una aceleración $a$ mientras mantengo el extremo de la cuerda a una altura determinada. El resultado es una tensión en la cuerda menor que $mg$ .

Pero si tiro de la cuerda hacia arriba para mantener el disco en la misma altura, (en lugar de dejarlo caer) la tensión es ahora $mg$ .

Cada situación da lugar a un par diferente, y a una aceleración angular distinta. Pero si se mide bien la tensión, se conoce el par con respecto a la COM.