Se me encomendó la tarea de calcular esta suma: $$S=1+\frac{\sin x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\sin^2 x}+\cdots +\frac{\sin nx}{\sin^n x}$$ pero no estoy muy seguro de cómo empezar a resolverlo. Como siempre, agradecería que alguien me diera una sutil pista de cómo empezar. Gracias ;)
Definir $S^{'}=S-1$
Dejemos que $C^{'}=\dfrac{\cos x}{\sin x} + \dfrac{\cos2x}{\sin^2x} + ....... + \dfrac{\cos nx}{\sin^nx}$
Ahora,
$S^{'}=\Im{(C^{'}+iS^{'})}=\dfrac{e^{ix}}{\sin x} + \dfrac{e^{2ix}}{\sin^2x} + ...... + \dfrac{e^{nix}}{\sin^nx}$
Ahora súmalo como un G.P. y obtener la parte imaginaria de la suma y, por último, sumar $1$ .
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¿Puedes usar el teorema de Moive y tomar la parte imaginaria? ?
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Yo obtendría un denominador común y trabajaría con identidades trigonométricas en el numerador. No estoy seguro de que eso funcione, pero parece un punto de partida razonable.