Si $K\subset\mathbb{R}$ es compacto y tiene medida de Lebesgue positiva, es el interior de $K$ ¿No está vacío?

Question

Dejemos que $\mathbb R$ sea el campo de los números reales, $\mu$ la medida de Lebesgue en ella. Sea $K$ sea un subconjunto compacto de $\mathbb R$ .

¿Es cierta la siguiente afirmación?

Si $\mu(K) \gt 0$ entonces el interior de $K$ no está vacío.

Esto parece ser falso, pero no he podido construir un contraejemplo.

Answer 1

El Conjunto Smith-Volterra-Cantor encaja en el proyecto de ley. Es un subconjunto cerrado de $[0, 1]$ (para que sea compacto), con el interior vacío y la medida $\frac{1}{2}$ . De forma más general, se puede modificar la construcción del conjunto de Cantor para obtener los llamados "conjuntos de Cantor gordos" que tienen las propiedades deseadas.

Answer 2

Dejemos que $q_1, q_2, \dots $ sean los racionales. Definir $U= \cup_{n=1}^\infty(q_n - 1/2^n,q_n + 1/2^n).$ Entonces $U$ está abierto, $U$ es denso en $\mathbb {R},$ y $m(U)\le 2.$ De ello se desprende que $m([0,3]\setminus U) \ge 3 - m(U)\ge 3-2 =1.$ Pero $[0,3]\setminus U$ es compacto, y no contiene ningún racional, por lo tanto tiene el interior vacío. Así que $[0,3]\setminus U$ hace el trabajo.

Answer 3

Dado que todo conjunto con medida de Lebesgue positiva contiene un conjunto compacto con medida de Lebesgue positiva, basta con encontrar cualquier conjunto con medida de Lebesgue positiva e interior vacío, por ejemplo, el conjunto de todos los números irracionales.