Teorema central del límite constructivo

Question

Antecedentes: Dejemos que $\{a_i\}_{i=1}^n$ sean variables aleatorias i.i.d. con media cero y varianza unitaria. Definir $$s_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i\leq n} a_i$$

El teorema del límite central dice que la distribución de $s_n$ converge a la normal estándar ${\cal{N}}(0,1)$ .

Pregunta corta: Para cada $n$ , dame una variable aleatoria gaussiana $g_n$ que está cerca de $s_n$ .

Pregunta rigurosa: Fijar el número $n$ . ¿Podemos construir una gaussiana ${\cal{N}}(0,1)$ distribución de $s_n$ de manera que si $(s_n,g_n)$ se muestrea a partir de la distribución conjunta que hemos construido (donde $g_n$ es la variable gaussiana) $g_n,s_n$ están cerca en algún sentido. Por ejemplo, para algunos $\alpha>0$ queremos $${\mathbb{E}}[(g_n-s_n)^2]={\cal{O}}(n^{-\alpha})$$

Answer 1

Básicamente estás preguntando por un teorema central del límite con respecto a la métrica de Wasserstein 2 (puedes leer más sobre ello aquí https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wasserstein_metric ).

Formalmente, es equivalente al CLT clásico, pero requiere más finura para encontrar realmente el acoplamiento. Puedes ver algunos resultados recientes aquí https://arxiv.org/abs/1506.06966 .