Imaginemos dos objetos masivos, con la misma masa (M) que dan vueltas alrededor de su centro de masa (C.M.). Supongamos que la distancia entre ellos es de 1 hora luz. ¿No se aceleran los dos cuerpos y se alejan el uno del otro porque sienten la gravedad del otro tal como era hace 1 hora, debido a lo cual se desarrolla una fuerza tangente a la dirección de la velocidad?
En realidad no se separan en la distancia, pero el propio Laplace se hizo la misma pregunta e hizo exactamente la misma suposición errónea que tú, así que no te sientas mal, estás en buena compañía.
La mejor manera de enfocar el problema es a través de una expansión en los poderes de $v/c$ , donde $v$ es la velocidad a la que se mueven las partículas y $c$ es la velocidad de la luz (o, más relevante para este problema, la velocidad de la gravedad). En el orden $(v/c)^2$ En el caso de la masa, hay que tener en cuenta la radiación gravitacional emitida por la aceleración de las masas. El $o((v/c)^2)$ La contribución a la interacción gravitacional hace que las partículas se muevan en espiral hacia adentro ya que pierden energía cinética debido a la energía gravitacional irradiada. Sin embargo, para ver esto de forma analítica se necesita toda la maquinaria de la relatividad general, y es un cálculo bastante complicado; de hecho, no se puede resolver analíticamente de forma exacta.
Sin embargo, el $o(v/c)$ El efecto es más manejable, y el análisis del problema en este orden es suficiente para aclarar su idea errónea. La aceleración de las partículas es $o(v^2/c^2)$ , por lo que en este orden podemos despreciarlo y considerar únicamente el efecto de su velocidad. En efecto, podemos considerar el efecto sobre la partícula B, suponiendo que la partícula A hubiera tenido siempre su velocidad instantánea actual ${\bf v}$ (es decir, asumiendo que siempre ha estado viajando en línea recta tangente al círculo de la órbita).
Resulta que en este orden el problema se vuelve matemáticamente equivalente a un problema conocido en especial relatividad: el del campo eléctrico generado por una carga que se mueve a velocidad relativista constante. Es un resultado estándar de la E&M clásica (ver, por ejemplo, Purcell) que en esta situación, el campo eléctrico apunta exactamente a la partícula presente posición, no a su posición retardada como era de esperar.
(Esto se debe a que, en un contexto relativista, los campos generados por una partícula dependen de su velocidad y aceleración, así como de su posición (como puede verse en las ecuaciones de Jefimenko). Resulta que en el caso de que se pueda despreciar la aceleración, los campos simplemente apuntan a la "posición proyectada futura" de la partícula, basada en su posición y velocidad en el tiempo retardado, que es también su posición presente instantánea).
Así que resulta que el $o(v/c)$ La corrección de la relatividad general es exactamente cero: la aceleración de la partícula B es $GM/(2R)^2 + o((v/c)^2)$ y su dirección es precisamente radial hacia adentro, a pesar de la aparente violación de la causalidad.
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Esta no es una respuesta completa, pero puede ser útil de todos modos. Se agradece cualquier corrección.
No puedo decir si esto ocurre en teoría, pero estoy bastante seguro de que no importa en la práctica. En primer lugar, hay que tener en cuenta que el efecto va a ser despreciable a menos que los cuerpos se muevan cerca de la velocidad de la luz; en otras palabras, el retraso de la gravedad tiene que ser comparable a su período orbital.
Resolver el problema de los dos cuerpos en la relatividad general es bastante difícil. Según Wikipedia si el campo gravitatorio es débil se puede hacer una expansión post-newtoniana, lo que lleva al resultado de que podemos pretender que sólo hay una órbita alrededor de un objeto estacionario con masa $M_1+M_2$ .
Hacer esta aproximación me permite (y a Wikipedia) utilizar la solución de Schwarzschild, y podemos resolver las órbitas. Resulta que la tercera ley de Kepler sigue siendo válida, y podemos encontrar la velocidad orbital en función del radio:
$$v^2 = \frac{GM}{r}$$
Así que si queremos $v$ para estar cerca de la velocidad de la luz, $r$ tiene que estar cerca del radio de Schwarzschild $2GM/c^2$ . Esto sólo puede ocurrir en el caso de objetos extremadamente compactos (agujeros negros o estrellas de neutrones) que orbitan muy cerca unos de otros. Pero en este caso, sabemos que los objetos pierden tanta energía con las ondas gravitacionales que se acercan en espiral y chocan. Así que tampoco parece que el efecto sea relevante en este caso.
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