Paseo aleatorio bidimensional, covarianza

Question

Dejemos que $X_1, \ldots X_n \sim N \left( \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1 & \rho\\ \rho & 1\end{array} \right] \right), S_n = \sum \limits_{i = 1}^n X_i$ .

Si tuviéramos un paseo aleatorio unidimensional, la varianza es $\sigma^2n$ . Pero, ¿cómo calcular la matriz de covarianza de $S_n$ en el caso de las dos dimensiones?

Answer 1

$S_n^1 = \sum X_i^1, S_n^2 = \sum X_i^2$ ya que ambos tienen una expectativa nula $$cov(S_n^1, S_n^1) = E((\sum X_i^1)^2) = \sum E((X_i^1)^2) = n$$ $$cov(S_n^1, S_n^2) = E((\sum X_i^1)(\sum X_i^2)) = \sum E(X_i^1X_i^2) = n\rho$$

Del mismo modo, para $cov(S_n^2, S_n^2)$ .