Es cierto para $k=1,2$ pero no para $k\ge 3$ .
Escriba $f=g^2$ cerca de $0$ y que $g(z)=\sum_{m\ge 0}a_m z^m$ . Entonces $|f|(z)=\overline{g(z)}g(z)$ por lo que queremos (hasta $k!$ en ambos lados) que $$ \left|\sum_{0\le m\le k/2}a_ma_{k-m}\right|\le \max_u\left|\Re\sum_{0\le m\le k/2}\bar a_ma_{k-m}P_{m}(u)\right| $$ donde $P_{m}(u)$ es la media de todos los productos de $u_1,\dots,u_k$ con exactamente $m$ barras de conjugación sobre $u$ y si $k=2m$ entonces el último término de la suma debe tomarse con el coeficiente $1/2$ .
Ahora, fíjate en que si multiplicamos $a_m$ y $a_{k-m}$ por cualquier $\zeta_m\in\mathbb T$ entonces podemos girar los términos del lado izquierdo como queramos sin cambiar los del lado derecho. También podemos hacer $\bar a_ma_{k-m}$ cualquier número que queramos excepto $a_m\bar a_m$ debe ser positivo cuando $k$ es par y $m=k/2$ . Por lo tanto, la desigualdad deseada es equivalente a $$ \sum_{0\le m\le k/2}|b_m|\le \max\left|\Re\sum_{0\le m\le k/2}b_mP_m(u)\right| $$ Sin embargo, la única manera de conseguirlo es alinear todos los términos en todos los $b_mP_m(u)$ con $+1$ o $-1$ simultáneamente.
Si $k=1$ entonces $P_0(u)=u_1$ Por lo tanto, no es un problema. Si $k=2$ entonces $P_0(u)=u_1u_2$ y $P_1(u)=\frac 12(u_1\bar u_2+u_2\bar u_1)$ y sabemos que $b_1$ ya está alineado con $+1$ , por lo que podemos alinear $P_1$ con $+1$ eligiendo $u_1=u_2=\zeta\in\mathbb T$ y todavía tenemos suficiente libertad para rotar $u_1u_2$ a cualquier cosa que queramos.
Sin embargo, cuando $k>2$ tenemos arbitrariedad $b_0$ y $b_1$ y alineando todos los términos en $P_1$ entre ellos requiere que todos $u_k=\pm\zeta$ para algunos $\zeta\in \mathbb T$ . Así, nuestra suma comienza con $\pm (b_0\zeta^k+b_1\zeta^{k-2})$ y para el genérico $b_0,b_1$ no tenemos la suficiente libertad para llevar incluso estos dos términos a la línea real simultáneamente.
